Złota liczba - sposób zapisywania

[dwumian]

Cześć !
Jest to mój pierwszy post na tym forum, jeśli nie umieściłem tego tematu w odpowiednim dziale to proszę o wyrozumiałość, nie wiedziałem gdzie on pasuje.

Przejdę do rzeczy, jak pewnie wiadomo złotą liczbę można zapisać za pomocą ułamka łańcuchowego \(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+...} } }}\) , da się to udowodnić biorąc "kawałek" z tego ułamka i zamieniając na ułamek niewłaściwy, który będzie ilorazem sąsiadujących ze sobą liczb Fibonacciego. Znalazłem w czasopiśmie "Rusz głową", które ukazywało się jakiś czas temu, że złotą liczbę można również zapisać za pomocą \(\displaystyle{ \sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt{1...} } } }}\) , sprawdziłem to kalkulatorem i rzeczywiście, taki pierwiastek dąży do złotej liczby. Tutaj pragnę skierować pytanie do Was, jak można udowodnić, że taki pierwiastek jest złotą liczbą nie za pomocą kalkulatora.

Z góry dzięki za odpowiedź,
Pozdrawiam

[TheBill]

\(\displaystyle{ \sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt{1...} } } }=x}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{1+ x }=x}\)

\(\displaystyle{ 1+ x =x^2}\)

\(\displaystyle{ x=...}\)

[dwumian]

Dzięki za bardzo szybką i w rzeczywistości prostą odpowiedź, nie myślałem, że udowadnia się to w taki sposób.

Pozdrawiam.

[fon_nojman]

\(\displaystyle{ \sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt{1...} } } }=x}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{1+ x }=x}\)

\(\displaystyle{ 1+ x =x^2}\)

\(\displaystyle{ x=...}\)

Przedtem wypadało by udowodnić zbieżność ciągu \(\displaystyle{ \sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt{1...} } } }.}\)

[TheBill]

Trzeba to robić? Kiedyś widziałem rozwiązanie takie jak ja podałem (bez udowadniania).

[fon_nojman]

Ja to rozumiem jako ciąg

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} f^n(1)}\)

gdzie \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{1+x},\ x \ge -1}\) oraz \(\displaystyle{ f^n}\) to złożenie \(\displaystyle{ n-}\)razy funkcji \(\displaystyle{ f,}\) który teoretycznie może być rozbieżny.

[TheBill]

Teraz sprawdziłem jak dokładnie było to zadanie.

\(\displaystyle{ \sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt{1...} } } }=x}\)

\(\displaystyle{ 1+ \sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt{1...} } } =x^2}\)

\(\displaystyle{ 1+x=x^2}\)

Czy w powyższym (prawie takim samym rozwiązaniu) trzeba udowadniać zbieżność ciągu? (chociaż i tak nie wiem co to znaczy )

Dodam, że to zadanie jest w zbiorze dla szkól średnich (kiełbasa).

[fon_nojman]

Moim zdaniem trzeba. Co to jest \(\displaystyle{ \sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt{1...} } } }}\)?

[TheBill]

No nie wiem jak to fachowo nazwać, mam przeciętną wiedzę z zakresu licealnego