Rozwinięcie dziesiętne liczby

fala21 · Post autor: **fala21** » 15 mar 2011, o 19:22

Witam. Ostatnio napotkałem na takie zadanie:
Liczbę \(\displaystyle{ \frac{4}{7}}\) zapisujemy w postaci \(\displaystyle{ 0,a _{1}a _{2}a _{3}...}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{1}, a _{2},a _{3}}\) są kolejnymi cyframi rozwinięcia dziesiętnego tej liczby. Podaj sumę liczb od \(\displaystyle{ a _{1}}\)do\(\displaystyle{ a _{10}}\).

Czy istnieje jakiś algorytm za pomocą którego można to zrobić bez użycia kalkulatora? I jaki powinien wyjść wynik bo nawet z kalkulatorem coś mi nie wychodzi.

czilalter · Post autor: **czilalter** » 15 mar 2011, o 19:37

jak łatwo było sie domyślić rozwinięcie dziesiętne jest okresowe. Okres mozna wyznaczyc za pomocą prostego kalkulatora nawet \(\displaystyle{ 0,(571428)}\). Do \(\displaystyle{ a10}\) masz jeden pełem okres i cztery cyfry drugi raz. Wystarczy dodać:)

fala21 · Post autor: **fala21** » 15 mar 2011, o 20:08

A bez kalkulatora da sie???

czilalter · Post autor: **czilalter** » 15 mar 2011, o 20:18

pisemnie tych kilka miejsc mozesz wyliczyc;) a tak na powaznie to nie probuje nawet myslec o rozwiazywaniu tego bez kalkulatora bo na marutze prosty moge miec:)

Hirakata · Post autor: **Hirakata** » 15 mar 2011, o 20:33

Potrzebujesz przybliżenia liczby \(\displaystyle{ \frac{4}{7}}\), do dziesiątego miejsca po przecinku. Taką dokładność jest otrzymana jeżeli w mianowniku będziemy mieli \(\displaystyle{ 10^{11}}\) lub więcej.

\(\displaystyle{ 10^{11} = 100000000000\\\\
\left[100000000000/7\right] = 14285714285\\\\
14285714285+1 = 14285714286\\\\
\frac{4}{7} = \frac{4}{7} \cdot \frac{14285714286}{14285714286}\\\\
\frac{4}{7} = \frac{57142857144}{100000000002}}\)

I wystarczy zsumować dziesięć początkowych cyfr licznika.

@edit:
Dzięki czilalter, poprawione.

czilalter · Post autor: **czilalter** » 15 mar 2011, o 20:37

licznika a nie mianownika;)

fala21 · Post autor: **fala21** » 20 mar 2011, o 16:59

Genialne. Sam bym na to nie wpadł. Dzięki za pomoc.