wykaż nieróność

kaktusik1992 · Post autor: **kaktusik1992** » 13 mar 2011, o 13:41

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}* \frac{3}{4}* \frac{5}{6}*...* \frac{9999}{10000} < \frac{1}{100}}\)

darek20 · Post autor: **darek20** » 13 mar 2011, o 14:26

tu jest podobne
235397.htm

kaktusik1992 · Post autor: **kaktusik1992** » 13 mar 2011, o 16:19

Zrobiłam tak:\(\displaystyle{ a_{n}= \prod_{k=1}^{n} \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{ \sqrt{2n} }}\) i indukcyjnie to próbowałam udowodnić ale coś nie wychodzi.

marcinz · Post autor: **marcinz** » 13 mar 2011, o 17:12

Spróbuj udowodnić, że \(\displaystyle{ a_n \le \frac{\sqrt{2n-1}}{2n}}\).

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 14 mar 2011, o 06:27

To dość ładnie wyjdzie prostszym oszacowaniem, bo mamy: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}<\frac{2}{3},\ \frac{3}{4}<\frac{4}{5}}\) itd., tzn. \(\displaystyle{ L^2<L\cdot \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot ...\cdot\frac{10000}{10001}=\frac{1}{10001}<\frac{1}{100^2}}\).