wyznaczenie liczby dzielników

[sorcerer123]

Niech p będzie taką liczbą naturalną niepodzielną przez 3, że liczba \(\displaystyle{ 3p^3}\) ma dokładnie 8 dzielników. Ile dzielników ma liczba \(\displaystyle{ 27p ^{5}}\)

W ogóle nie wiem jak się zabrać za to zadanie. Proszę o pomoc

[McMurphy]

Jakie liczby dzielą \(\displaystyle{ 3p^{3}}\) skoro ma ona 8 dzielników i nie jest podzielna przez 3?

[sorcerer123]

liczba p nie dzieli się na 3, a dzielnikami \(\displaystyle{ 3p ^{3}}\) są pewnie: \(\displaystyle{ 1,3, 3p, 3p ^{2}, p,p ^{2},p ^{3} , 3p ^{3}}\)

[McMurphy]

Więc widzisz, że \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą zatem w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ 3p^{3}}\) występuje tylko 3 oraz \(\displaystyle{ p}\) do odpowiednich potęg-3 jest do potęgi 0 lub 1,a \(\displaystyle{ p}\) do 0, 1, 2 lub 3. Zatem to zadanie sprowadza się do kombinatoryki ponieważ ilość dzielników tej liczby jest równa ilości kombinacji potęg 3 i \(\displaystyle{ p}\) czyli \(\displaystyle{ (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3)}\). Podobnie wyznaczysz liczbę dzielników liczby \(\displaystyle{ 27p^{5}}\).