wyznaczenie pary liczb naturalnych

[sorcerer123]

Mam takie zadanie, proszę o pomoc.

Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych, dla których iloczyn największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności jest cztery razy większy od sumy tych liczb

[Althorion]

Podpowiedź:
\(\displaystyle{ \text{NWD}(a; b) \cdot \text{NWW}(a; b) = ab}\)

[sorcerer123]

Podpowiedź:
\(\displaystyle{ \text{NWD}(a; b) \cdot \text{NWW}(a; b) = ab}\)

a skąd to wiadomo?

jeśli tak to:

\(\displaystyle{ ab=4(a+b)}\)
\(\displaystyle{ ab-4a=4b}\)
\(\displaystyle{ a(b-4)=4b}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{4b}{b-4}}\)

i szukam takich a i b (b>4), które będą liczbami naturalnymi, i które spełnią to równanie?
jeśli tak to znalazłem takie pary: (a,b)
(5,20), (6,12), (8,8), (12,6), (20,5)

[Althorion]

Dość intuicyjnie.

Szkic dowodu wygląda tak:
Rozważmy rozkład na czynniki pierwsze liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Porównajmy wykładników przy każdej potędze konkretnych liczb pierwszych (jeżeli któraś z liczb się przez daną liczbę pierwszą nie dzieli, weźmy ten współczynnik równy zero, jako że \(\displaystyle{ q^0 = 1}\) nie zmieni nam to wyniku). Widać teraz, że NWD będzie iloczynem wszystkich liczb pierwszych wchodzących w rozkład \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) ze współczynnikami będącymi minimum odp. współczynników, zaś NWW - maksimum. Jeżeli więc rozważymy iloraz NWW i NWD to widać, że w ich rozkładzie na czynniki pierwsze każda liczba pierwsza występuje ze współczynnikiem potęgowym równym sumie odp. współczynników liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), tak więc \(\displaystyle{ \text{NWD}(a; b) \cdot \text{NWW}(a; b) = ab}\).

Jeżeli coś jest niejasne, to spróbuję wytłumaczyć.

[sorcerer123]

z całym szacunkiem, ale nie rozumiem

[Althorion]

Słabo tłumaczę, jak się spieszę . Nic to, pójdę na późniejszy seans.

Rozpiszmy sobie liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) na czynniki pierwsze, powiedzmy tak:
\(\displaystyle{ a = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{a_n} \\
b = p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{b_n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ p_i}\) są liczbami pierwszymi.

Teraz mi powiedz, czy umiesz dostrzec, że:
a) \(\displaystyle{ \text{NWW}(a; b) = p_1^{\max (a_1; b_1)} \cdot p_2^{\max (a_2; b_2)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\max (a_n; b_n)}}\)
b) \(\displaystyle{ \text{NWD}(a; b) = p_1^{\min (a_1; b_1)} \cdot p_2^{\min (a_2; b_2)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min (a_n; b_n)}}\)
c) \(\displaystyle{ \max (a; b) \in \{a; b\} \wedge \min (a; b) \in \{a; b\}}\)
Wyjaśnię najpierw tę część dowodu, następnie resztę.

[sorcerer123]

no to rozumiem, że \(\displaystyle{ NWW(a; b) = p_1^{\max (a_1; b_1)} \cdot p_2^{\max (a_2; b_2)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\max (a_n; b_n)}}\)

jakie poświęcenie

[Althorion]

W takim razie pozostałe, b) i c):
Ad b.:
Tutaj rozumowanie jest prawie takie same jak przy NWW. Spróbuj samemu je przeprowadzić, jak Ci się nie uda, to je tu zaprezentuję.
Ad c.:
Zauważ, że minimum to mniejsza z liczb - czyli któraś z nich. To samo z maksimum - to też któraś z tych liczb.

[sorcerer123]

no wiadomo na konkretnych liczbach widać to jeszcze lepiej.

Dziękuję Ci

[Althorion]

Służę. Rozumiem teraz, że udało Ci się pojąć cały mój mętny wywód?