Witam,
Euler totient: \(\displaystyle{ \phi(160)=32}\)
bo
\(\displaystyle{ 160=4*5*8}\)
czyli
\(\displaystyle{ \phi(160)=\phi(4)*\phi(5)*\phi(8) \phi(160)=2*4*4}\)
Czy dobrze rozumuje?
totient
-
ariadna
- Użytkownik
- Posty: 2702
- Rejestracja: 22 maja 2005, o 22:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Olsztyn/Berlin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 642 razy
totient
A nie przypadkiem \(\displaystyle{ \phi(160)=64}\)?
Ponieważ, \(\displaystyle{ 160=5\cdot{2^{5}}}\)
\(\displaystyle{ \phi(160)=160\cdot{(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{2})}=160\cdot{\frac{4}{5}}\cdot{\frac{1}{2}}=64}\).
Ponieważ, \(\displaystyle{ 160=5\cdot{2^{5}}}\)
\(\displaystyle{ \phi(160)=160\cdot{(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{2})}=160\cdot{\frac{4}{5}}\cdot{\frac{1}{2}}=64}\).
-
greg.p
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 2 gru 2006, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leeds
- Podziękował: 15 razy
totient
Dzieki. Widze ze zrobilem blad, bo w tabeli wartosci , twoj wynik jest poprawny.
[ Dodano: 19 Grudzień 2006, 14:41 ]
a dlaczego moj sposob w tym przypadku sie sprawdzil
\(\displaystyle{ \phi(180)=2^{2}*3^{2}*5=\phi(4)*\phi(9)*\phi(5)=2*6*4=48}\)
i twoim oczywiscie tez
\(\displaystyle{ \phi(180)=2^{2}*3^{2}*5=180*(1-\farc{1}{2})*(1-\farc{1}{3})*(1-\farc{1}{5})=180*\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*\frac{4}{5}=48}\)
gdzie wiec zle pomyslalem robiac moim sposobem przy obliczeniu \(\displaystyle{ \phi(160)}\)?
[ Dodano: 19 Grudzień 2006, 14:41 ]
a dlaczego moj sposob w tym przypadku sie sprawdzil
\(\displaystyle{ \phi(180)=2^{2}*3^{2}*5=\phi(4)*\phi(9)*\phi(5)=2*6*4=48}\)
i twoim oczywiscie tez
\(\displaystyle{ \phi(180)=2^{2}*3^{2}*5=180*(1-\farc{1}{2})*(1-\farc{1}{3})*(1-\farc{1}{5})=180*\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*\frac{4}{5}=48}\)
gdzie wiec zle pomyslalem robiac moim sposobem przy obliczeniu \(\displaystyle{ \phi(160)}\)?
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
totient
Hmm, raczej powinno być tak:
\(\displaystyle{ \phi(160) = \phi(2^{5}\cdot5) = \phi(32) \phi(5) = 16 4 = 64}\)
Ogólnie jeśli:
\(\displaystyle{ n = \prod\limits_{i = 1}^{m} p_{i}^{k_{i}}}\),
gdzie:
\(\displaystyle{ m}\) - liczba wszystkich czynników pierwszych liczby \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ p_{i}}\) - kolejny czynnik pierwszy liczby \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ k_{i}}\) - największa liczba naturalna taka, że \(\displaystyle{ p_{i}^{k_{i}}}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ n}\),
to:
\(\displaystyle{ \phi(n) = \prod\limits_{i = 1}^{m} \phi(p_{i}^{k_{i}})}\),
co łatwo wyprowadzić korzystając ze wzoru stosowanego przez ariadnę.
Zatem aby liczyć tocjent dla liczby Twoim sposobem, musimy zapisać tę liczbę jako iloczyn potęg (o wykładnikach naturalnych) różnych czynników pierwszych tej liczby.
(Jeszcze ogólniej, jest też:
jeśli liczby \(\displaystyle{ n_{1}, n_{2}, ..., n_{q}}\) parami są liczbami względnie pierwszymi to:
\(\displaystyle{ \phi(\prod\limits_{i = 1}^{q} n_{i}) = \prod\limits_{i = 1}^{q}\phi(n_{i})}\))
\(\displaystyle{ \phi(160) = \phi(2^{5}\cdot5) = \phi(32) \phi(5) = 16 4 = 64}\)
Ogólnie jeśli:
\(\displaystyle{ n = \prod\limits_{i = 1}^{m} p_{i}^{k_{i}}}\),
gdzie:
\(\displaystyle{ m}\) - liczba wszystkich czynników pierwszych liczby \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ p_{i}}\) - kolejny czynnik pierwszy liczby \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ k_{i}}\) - największa liczba naturalna taka, że \(\displaystyle{ p_{i}^{k_{i}}}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ n}\),
to:
\(\displaystyle{ \phi(n) = \prod\limits_{i = 1}^{m} \phi(p_{i}^{k_{i}})}\),
co łatwo wyprowadzić korzystając ze wzoru stosowanego przez ariadnę.
Zatem aby liczyć tocjent dla liczby Twoim sposobem, musimy zapisać tę liczbę jako iloczyn potęg (o wykładnikach naturalnych) różnych czynników pierwszych tej liczby.
(Jeszcze ogólniej, jest też:
jeśli liczby \(\displaystyle{ n_{1}, n_{2}, ..., n_{q}}\) parami są liczbami względnie pierwszymi to:
\(\displaystyle{ \phi(\prod\limits_{i = 1}^{q} n_{i}) = \prod\limits_{i = 1}^{q}\phi(n_{i})}\))