Kongruencja wykładnicza, rząd liczby modulo

[patry93]

Witam.

Czytając "Wstęp..." Sieprińskiego oraz posty na forum wysnułem hipotezę ( ) - wykładnik, do którego należy według modułu m liczba a jest tym samym, co rząd a modulo m - to jest prawda? Jeśli tak, czy któraś z tych nazw jest używana "częściej" (bardziej znana) obecnie?
Jeszcze obiły mi się o uszy nazwy takie jak: -indeks liczby - czy tutaj też występuje inna nazwa?
-generator - czy to jest innymi słowy pierwiastek pierwotny dla pewnej liczby?

Inny problem: rozpatrzmy kongruencję wykładniczą \(\displaystyle{ a^x \equiv 1 ( \ mod \ m )}\)
Jak pokazać, że kongruencja ta może mieć pierwiastek naturalny tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ NWD(a,m)=1}\) ?

Z góry dziękuję.

[Zordon]

wykładnik, do którego należy według modułu m liczba a jest tym samym, co rząd a modulo m -

Nie zrozumiałem tego zdania za bardzo ;D


Co do kongruencji to jesli \(\displaystyle{ NWD(a,m)=d>1}\) to przecież nigdy nie może być \(\displaystyle{ a^x-1=kn}\)
bo z tego wynikałoby, że \(\displaystyle{ d|1}\).
Jeśli zaś \(\displaystyle{ NWD(a,m)=1}\) to rzeczywiście takie równanie ma rozwiązanie, można nawet jedno wskazać: \(\displaystyle{ x=\phi(n)}\) (twierdzenie Eulera).

[patry93]

No tak, istotnie łatwy był ten problem, jednak nie zdążyłem napisać przed Tobą, że już go rozwiązałem niedługo po założeniu tematu ;D

Co do zdania - no cóż, taka definicja widnieje w Sierpińskim, chociaż może ją troszkę przeinaczyłem, więc teraz słowo w słowo: jeżeli \(\displaystyle{ x=\delta}\) jest najmniejszym pierwiastkiem naturalnym kongruencji \(\displaystyle{ a^x \equiv 1 ( \ mod \ m )}\), to liczba \(\displaystyle{ a}\) należy według modułu \(\displaystyle{ m}\) do wykładnika \(\displaystyle{ \delta}\).
Czyli to samo, że \(\displaystyle{ \delta}\) jest rzędem liczby \(\displaystyle{ a}\) modulo \(\displaystyle{ m}\) ?
I jeszcze jak z tymi indeksami oraz generatorami?

[Zordon]

Hmm w Sierpińskim jest jakieś stare nazewnictwo (zresztą trudno się dziwić), mówi się zazwyczaj, że \(\displaystyle{ a}\) jest elementem rzędu \(\displaystyle{ \delta}\) (w grupie multiplikatywnej, żeby uściślić).
Generator to pojęcie z teorii grup, nie wiem dokładnie w jakim konteście było użyte to słowo.
Czy rząd to to samo co indeks? W teorii grup to nie jest to samo, ale może Sierpiński właśnie tak to nazywa... Nie wiem.

[SaxoN]

Generator to taki element \(\displaystyle{ g}\) grupy, że zbiór \(\displaystyle{ \{\ldots,g^{-2},g^{-1},g^0,g^1,g^2, \ldots\}}\) zawiera wszystkie elementy grupy. Istnienie takiego elementu oznacza, że grupa jest cykliczna - to pojęcie można sobie sprawdzić na wikipedii. Ach, i tak, w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_p}\) to to samo co pierwiatek pierwotny