W ciele \(\displaystyle{ Z_{101}}\) wyznaczyć element odwrotny do \(\displaystyle{ 43}\).
Czy \(\displaystyle{ 66}\) jest elementem odwracalnym w pierścieniu \(\displaystyle{ Z_{2431}}\)?
Rozwiązać w ciele \(\displaystyle{ Z_{101}}\) równanie \(\displaystyle{ 32x=29}\).
Elementy odwrotne w pierścieniach i ciałach.
Elementy odwrotne w pierścieniach i ciałach.
Ostatnio zmieniony 27 lut 2011, o 14:55 przez Qń, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Nieregulaminowa nazwa tematu. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Nieregulaminowa nazwa tematu. Temat umieszczony w złym dziale.
-
Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
Elementy odwrotne w pierścieniach i ciałach.
Zad 1.
Można strzelać sprawdzając po kolei elementy pierścienia, jest ich 101, więc w skończonym czasie to rozwiążesz. Ale oczywiście można zastosować algorytm Euklidesa:
szukamy\(\displaystyle{ x \in Z_{101}}\) :
\(\displaystyle{ 43*x = 1 w Z_{101}}\), zatem:
\(\displaystyle{ 43*x - 1 = 101k , k \in Z}\)
\(\displaystyle{ 43*x - 101k = 1}\)- a to ma rozwiązania, bo \(\displaystyle{ 43}\) i \(\displaystyle{ 101}\) są względnie pierwsze, więc z algorytmu Euklidesa można je tak przedstawić.
po zastosowania wyżej wymienionego algorytmu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x =47, k = 20.}\)
Sprawdzenie pokazuje, że znaleziona liczba to rzeczywiście odwrotność\(\displaystyle{ 43}\) w tym ciele.
Można strzelać sprawdzając po kolei elementy pierścienia, jest ich 101, więc w skończonym czasie to rozwiążesz. Ale oczywiście można zastosować algorytm Euklidesa:
szukamy\(\displaystyle{ x \in Z_{101}}\) :
\(\displaystyle{ 43*x = 1 w Z_{101}}\), zatem:
\(\displaystyle{ 43*x - 1 = 101k , k \in Z}\)
\(\displaystyle{ 43*x - 101k = 1}\)- a to ma rozwiązania, bo \(\displaystyle{ 43}\) i \(\displaystyle{ 101}\) są względnie pierwsze, więc z algorytmu Euklidesa można je tak przedstawić.
po zastosowania wyżej wymienionego algorytmu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x =47, k = 20.}\)
Sprawdzenie pokazuje, że znaleziona liczba to rzeczywiście odwrotność\(\displaystyle{ 43}\) w tym ciele.
-
Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
Elementy odwrotne w pierścieniach i ciałach.
Zad 2
Element \(\displaystyle{ q \in Z_m}\) jest odwracalny \(\displaystyle{ \Leftrightarrow NWD(q,m) = 1}\). Dowodzić to?
Musimy sprawdzić czy: \(\displaystyle{ NWD(66, 2431) = 1}\)?
Ale zauważmy, że: \(\displaystyle{ 66 = 6 * 11}\) oraz: \(\displaystyle{ 2431 = 2200 + 220 + 11 = 11*221}\)
Zatem \(\displaystyle{ NWD(66,2431)>1}\) czyli 66 nie jest odwracalny w tym pierścieniu.
Zad 3
\(\displaystyle{ 32x = 29}\)
\(\displaystyle{ 32x * (32^{-1}) = 29 * (32^{-1})}\)
\(\displaystyle{ x = 29 * (32^{-1})}\)
Ponieważ mamy ciało, więc do każdego niezerowego elementu istnieje odwrotność, więc i do \(\displaystyle{ 32}\) też istnieje. wystarczy teraz ja znaleźć i mamy rozwiązane.
Element \(\displaystyle{ q \in Z_m}\) jest odwracalny \(\displaystyle{ \Leftrightarrow NWD(q,m) = 1}\). Dowodzić to?
Musimy sprawdzić czy: \(\displaystyle{ NWD(66, 2431) = 1}\)?
Ale zauważmy, że: \(\displaystyle{ 66 = 6 * 11}\) oraz: \(\displaystyle{ 2431 = 2200 + 220 + 11 = 11*221}\)
Zatem \(\displaystyle{ NWD(66,2431)>1}\) czyli 66 nie jest odwracalny w tym pierścieniu.
Zad 3
\(\displaystyle{ 32x = 29}\)
\(\displaystyle{ 32x * (32^{-1}) = 29 * (32^{-1})}\)
\(\displaystyle{ x = 29 * (32^{-1})}\)
Ponieważ mamy ciało, więc do każdego niezerowego elementu istnieje odwrotność, więc i do \(\displaystyle{ 32}\) też istnieje. wystarczy teraz ja znaleźć i mamy rozwiązane.
Elementy odwrotne w pierścieniach i ciałach.
Punkty: 1
Obliczyć w ciele Z17 pierwiastki kwadratowe z 2.
Przyjmując 0 jako najmniejszy, a 16 jako największy element ciała Z17, podać jako x mniejszy, a jako y większy z pierwiastków.
Odpowiedź:
x =
y =
ZAdanie 9.
Podać liczbę różnych rozwiązań (0, 1 lub 2) równania 3x2 + 2x + 1 = 0 w ciele Z7.
Odpowiedź:
Obliczyć w ciele Z17 pierwiastki kwadratowe z 2.
Przyjmując 0 jako najmniejszy, a 16 jako największy element ciała Z17, podać jako x mniejszy, a jako y większy z pierwiastków.
Odpowiedź:
x =
y =
ZAdanie 9.
Podać liczbę różnych rozwiązań (0, 1 lub 2) równania 3x2 + 2x + 1 = 0 w ciele Z7.
Odpowiedź: