Reszty kwadratowe ciągu arytmetycznego

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
fala21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 20 lip 2009, o 00:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 3 razy

Reszty kwadratowe ciągu arytmetycznego

Post autor: fala21 »

Witam. Mam problem z takim zadaniem:

Udowodnij, że żaden wyraz ciągu arytmetycznego \(\displaystyle{ 31n+12 ; n=1,2,3...}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej.
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Reszty kwadratowe ciągu arytmetycznego

Post autor: Althorion »

Niech \(\displaystyle{ n, k \in \mathbb{Z}}\). Załóżmy nie wprost, że:
\(\displaystyle{ 31n + 12 = k^2}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ n = \frac{k^2-12}{31}}\)
Żeby \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\) musi być tak, że \(\displaystyle{ k^2-12}\) jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 31}\):
\(\displaystyle{ k^2 - 12 \equiv 0 \quad \text{mod } 31}\)
Poradzisz sobie dalej z wykazaniem, że jest to sprzeczne?
fala21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 20 lip 2009, o 00:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 3 razy

Reszty kwadratowe ciągu arytmetycznego

Post autor: fala21 »

Korzystając z symbolu Legrange'a??
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Reszty kwadratowe ciągu arytmetycznego

Post autor: Althorion »

Tak się wydaje najłatwiej.
ODPOWIEDZ