Witam. Mam problem z takim zadaniem:
Udowodnij, że żaden wyraz ciągu arytmetycznego \(\displaystyle{ 31n+12 ; n=1,2,3...}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej.
Reszty kwadratowe ciągu arytmetycznego
- Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
Reszty kwadratowe ciągu arytmetycznego
Niech \(\displaystyle{ n, k \in \mathbb{Z}}\). Załóżmy nie wprost, że:
\(\displaystyle{ 31n + 12 = k^2}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ n = \frac{k^2-12}{31}}\)
Żeby \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\) musi być tak, że \(\displaystyle{ k^2-12}\) jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 31}\):
\(\displaystyle{ k^2 - 12 \equiv 0 \quad \text{mod } 31}\)
Poradzisz sobie dalej z wykazaniem, że jest to sprzeczne?
\(\displaystyle{ 31n + 12 = k^2}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ n = \frac{k^2-12}{31}}\)
Żeby \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\) musi być tak, że \(\displaystyle{ k^2-12}\) jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 31}\):
\(\displaystyle{ k^2 - 12 \equiv 0 \quad \text{mod } 31}\)
Poradzisz sobie dalej z wykazaniem, że jest to sprzeczne?