liczby rzeczywiste dowód

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
kata189
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 86
Rejestracja: 28 kwie 2009, o 18:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: TL
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 7 razy

liczby rzeczywiste dowód

Post autor: kata189 »

wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ x,y,z \in R _{+}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}+ \frac{y}{z}+ \frac{z}{x} \ge 3}\)
Ostatnio zmieniony 23 lut 2011, o 15:28 przez Nakahed90, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

liczby rzeczywiste dowód

Post autor: Nakahed90 »

Z AM-GM idzie to odrazu.
Panda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 342
Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 28 razy

liczby rzeczywiste dowód

Post autor: Panda »

EDIT: Spaliłem, wybacz autorko tematu, mam nadzieję, że nie czytałaś tej głupoty. Jak wyżej, wystarczy znać nierówność między średnimi, podstawić jak na fizyce, zastosować i koniec
Ostatnio zmieniony 23 lut 2011, o 17:40 przez Panda, łącznie zmieniany 1 raz.
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

liczby rzeczywiste dowód

Post autor: anna_ »

AM-GM to średnia arytmetyczna-średnia geometryczna
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

liczby rzeczywiste dowód

Post autor: Vax »

Idzie też z nierówności Cauchy'ego Schwarza w formie Engela (nierówność jest jednorodna, więc możemy założyć, że \(\displaystyle{ x+y+z=1}\)):

\(\displaystyle{ \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \ge \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx} = \frac{1}{xy+yz+zx}}\)

Ale z nierówności Maclaurina mamy:

\(\displaystyle{ \frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt{\frac{xy+yz+zx}{3}}}\)

Czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \ge \sqrt{\frac{xy+yz+zx}{3}}}\)

\(\displaystyle{ xy+yz+zx \le \frac{1}{3}}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ \frac{1}{xy+yz+zx} \ge 3}\)

cnd.

Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

liczby rzeczywiste dowód

Post autor: smigol »

Vax, rozwaliłeś wszechświat... zrób to z Karamaty, będzie większy fun.
ElusiveN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 8 sty 2011, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

liczby rzeczywiste dowód

Post autor: ElusiveN »

Vax, jak niszczysz kosmosy, to teraz udowodnij Cauchy'ego Schwarza w formie Engela, żeby nie było niedomówień, a potem powiedz, czym jest jednorodność i dlaczego na jej podstawie możesz założyć \(\displaystyle{ x+y+z=1}\).
Awatar użytkownika
Promilla
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 14 wrz 2011, o 18:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Fsw/Z.gora
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 5 razy

liczby rzeczywiste dowód

Post autor: Promilla »

może banalne pytanie, ale właściwie dla jakich naturalnych byłabo spełnione właśnie \(\displaystyle{ \frac{x}{y}+ \frac{y}{z}+ \frac{z}{x}=3}\)
bo tak sobię siedzę i myślę czy to tylko dla \(\displaystyle{ x=1 \wedge y=1 \wedge z=1}\) ?
tatteredspire
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 74 razy

liczby rzeczywiste dowód

Post autor: tatteredspire »

Np. dla \(\displaystyle{ x=y=z}\) naturalnych zachodzi.
Awatar użytkownika
Promilla
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 14 wrz 2011, o 18:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Fsw/Z.gora
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 5 razy

liczby rzeczywiste dowód

Post autor: Promilla »

o dzięki . czyli generalnie wszystkie rójki liczb, w których te liczby są takie same są rozwiązaniami . ale czy to wszystkie rozwiązania?
tatteredspire
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 74 razy

liczby rzeczywiste dowód

Post autor: tatteredspire »

Tak, wszystkie, co wynika np. ze wspomnianej powyżej nierówności między średnimi.
ODPOWIEDZ