Dowód z liczby pierwsze i reszty kwadratowe

[tajner]

Niech \(\displaystyle{ p \in P, p>2}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ 1 ^{2} \cdot 3 ^{2} \cdot 5 ^{2} \cdot ...... \cdot (p-2) ^{2} \equiv (-1) ^{ \frac{p+1}{2} } (mod p)}\)

[kaszubki]

\(\displaystyle{ 1 ^{2} \cdot 3 ^{2} \cdot 5 ^{2} \cdot ...... \cdot (p-2) ^{2} = \frac{1 ^{2} \cdot 2 ^{2} \cdot 3 ^{2} \cdot ...... \cdot (p-1) ^{2}}{2 ^{2} \cdot 4 ^{2} \cdot 6 ^{2} \cdot ...... \cdot (p-1) ^{2} } = \frac{1 ^{2} \cdot 2 ^{2} \cdot 3 ^{2} \cdot ...... \cdot (p-1) ^{2}}{1 ^{2} \cdot 2 ^{2} \cdot 3 ^{2} \cdot ...... \cdot ( \frac{p-1}{2} ) ^{2} \cdot (2^{ \frac{p-1}{2}})^2 } \equiv \frac{((p-1)!)^2}{(( \frac{p-1}{2})!)^2 \cdot 2^{p-1}}\equiv \frac{1}{(( \frac{p-1}{2})!)^2}}\)
(przy ostatnim przejściu użyłem tw. Wilsona i Małego Twierdzenia Fermata)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ i \equiv -(p-i)}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}! \equiv -\frac{p+1}{2} \cdot -\frac{p+3}{2}\cdot ...\cdot -(p-1)\equiv -1^{\frac{p-1}{2}} \cdot \frac{p+1}{2} \cdot \frac{p+3}{2} \cdot ... \cdot (p-1)}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{p-1}{2}! \cdot \frac{p-1}{2}!} \equiv \frac{1}{(p-1)! \cdot -1^{ \frac{p-1}{2}}} \equiv \frac{1}{-1^ {\frac{p+1}{2}} }}\). (tu też użyłem Wilsona)
Chcę zatem udowodnić, że \(\displaystyle{ -1^{ \frac{p+1}{2} } \cdot -1^{ \frac{p+1}{2} } \equiv 1}\), czyli \(\displaystyle{ -1^{p+1}\equiv 1}\), a to jest oczywiste, bo \(\displaystyle{ p+1}\) jest parzyste.
C.N.D.

[tajner]

Oj wydaje mi się że jak podstawisz \(\displaystyle{ p=5}\) to masz \(\displaystyle{ 1\equiv -1 (mod 5)}\) co nie jest oczywiście prawdą.

Według tego co napisał to prawej stronie zawsze będzie jeden, co nie jest prawdziwe.