Dowód z liczby pierwsze i reszty kwadratowe
-
- Użytkownik
- Posty: 169
- Rejestracja: 10 gru 2010, o 15:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 5 razy
Dowód z liczby pierwsze i reszty kwadratowe
Niech \(\displaystyle{ p \in P, p>2}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ 1 ^{2} \cdot 3 ^{2} \cdot 5 ^{2} \cdot ...... \cdot (p-2) ^{2} \equiv (-1) ^{ \frac{p+1}{2} } (mod p)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 78 razy
Dowód z liczby pierwsze i reszty kwadratowe
\(\displaystyle{ 1 ^{2} \cdot 3 ^{2} \cdot 5 ^{2} \cdot ...... \cdot (p-2) ^{2} = \frac{1 ^{2} \cdot 2 ^{2} \cdot 3 ^{2} \cdot ...... \cdot (p-1) ^{2}}{2 ^{2} \cdot 4 ^{2} \cdot 6 ^{2} \cdot ...... \cdot (p-1) ^{2} } = \frac{1 ^{2} \cdot 2 ^{2} \cdot 3 ^{2} \cdot ...... \cdot (p-1) ^{2}}{1 ^{2} \cdot 2 ^{2} \cdot 3 ^{2} \cdot ...... \cdot ( \frac{p-1}{2} ) ^{2} \cdot (2^{ \frac{p-1}{2}})^2 } \equiv \frac{((p-1)!)^2}{(( \frac{p-1}{2})!)^2 \cdot 2^{p-1}}\equiv \frac{1}{(( \frac{p-1}{2})!)^2}}\)
(przy ostatnim przejściu użyłem tw. Wilsona i Małego Twierdzenia Fermata)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ i \equiv -(p-i)}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}! \equiv -\frac{p+1}{2} \cdot -\frac{p+3}{2}\cdot ...\cdot -(p-1)\equiv -1^{\frac{p-1}{2}} \cdot \frac{p+1}{2} \cdot \frac{p+3}{2} \cdot ... \cdot (p-1)}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{p-1}{2}! \cdot \frac{p-1}{2}!} \equiv \frac{1}{(p-1)! \cdot -1^{ \frac{p-1}{2}}} \equiv \frac{1}{-1^ {\frac{p+1}{2}} }}\). (tu też użyłem Wilsona)
Chcę zatem udowodnić, że \(\displaystyle{ -1^{ \frac{p+1}{2} } \cdot -1^{ \frac{p+1}{2} } \equiv 1}\), czyli \(\displaystyle{ -1^{p+1}\equiv 1}\), a to jest oczywiste, bo \(\displaystyle{ p+1}\) jest parzyste.
C.N.D.
(przy ostatnim przejściu użyłem tw. Wilsona i Małego Twierdzenia Fermata)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ i \equiv -(p-i)}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}! \equiv -\frac{p+1}{2} \cdot -\frac{p+3}{2}\cdot ...\cdot -(p-1)\equiv -1^{\frac{p-1}{2}} \cdot \frac{p+1}{2} \cdot \frac{p+3}{2} \cdot ... \cdot (p-1)}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{p-1}{2}! \cdot \frac{p-1}{2}!} \equiv \frac{1}{(p-1)! \cdot -1^{ \frac{p-1}{2}}} \equiv \frac{1}{-1^ {\frac{p+1}{2}} }}\). (tu też użyłem Wilsona)
Chcę zatem udowodnić, że \(\displaystyle{ -1^{ \frac{p+1}{2} } \cdot -1^{ \frac{p+1}{2} } \equiv 1}\), czyli \(\displaystyle{ -1^{p+1}\equiv 1}\), a to jest oczywiste, bo \(\displaystyle{ p+1}\) jest parzyste.
C.N.D.
-
- Użytkownik
- Posty: 169
- Rejestracja: 10 gru 2010, o 15:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 5 razy
Dowód z liczby pierwsze i reszty kwadratowe
Oj wydaje mi się że jak podstawisz \(\displaystyle{ p=5}\) to masz \(\displaystyle{ 1\equiv -1 (mod 5)}\) co nie jest oczywiście prawdą.
Według tego co napisał to prawej stronie zawsze będzie jeden, co nie jest prawdziwe.
Według tego co napisał to prawej stronie zawsze będzie jeden, co nie jest prawdziwe.