Podać liczbę rozwiązań układu
\(\displaystyle{ NWD(x, y) = 29\\
3x + 5y = 1276}\)
w liczbach naturalnych.
proszę o pomoc
Podać liczbę rozwiązań układu
-
Krzysiek90sc
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 20 lut 2011, o 18:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 176
Podać liczbę rozwiązań układu
Ostatnio zmieniony 20 lut 2011, o 18:38 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
Panda
- Użytkownik
- Posty: 342
- Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 28 razy
Podać liczbę rozwiązań układu
Pierwszy krok taki jak w 240730.htm , więc od razu wstawię i podzielę przez \(\displaystyle{ NWD}\):
\(\displaystyle{ 3a + 5b = 44\\
a = \frac{44 - 5b}{3}}\)Teraz kilka prostych wniosków:
1. \(\displaystyle{ 44 > 5b}\) W przeciwnym wypadku \(\displaystyle{ b<0}\), co prowadzi do sprzeczności. Stąd \(\displaystyle{ 8,8 > b}\).
2. \(\displaystyle{ 44 - 5b}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\). W przeciwnym wypadku iloraz jest niecałkowity, co prowadzi do sprzeczności.
3. Z 2) wynika, że reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 5b}\) przez \(\displaystyle{ 3}\) jest równa tyle, co reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 44}\) przez \(\displaystyle{ 3}\), czyli \(\displaystyle{ 2}\). W przeciwnym wypadku różnica dawałaby inną resztę niż \(\displaystyle{ 0}\), czyli nie byłby spełniony warunek 2.
Zatem szukamy takich \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ 5b}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\). Obserwujemy, że musi ta liczba dawać resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\), w przeciwnym razie reszta będzie inna. Zatem będą to liczby \(\displaystyle{ 1,4,7}\). Ponieważ każdej wartości zmiennej \(\displaystyle{ b}\) odpowiada w równości jedna wartość zmiennej \(\displaystyle{ a}\), otrzymaliśmy maks. \(\displaystyle{ 3}\) rozwiązania. Ponieważ jednak warunki powyższe odrzucają wszystkie niepoprawne rozwiązania (gdyż rozwiązanie równania może być ujemne lub niecałkowite, a obie opcje całkowicie odrzuciliśmy) wnioskujemy, ze układ ma dokładnie 3 rozwiązania.
Starałem się być zrozumiały, mam nadzieję, że pomogłem.
Czółko.
\(\displaystyle{ 3a + 5b = 44\\
a = \frac{44 - 5b}{3}}\)Teraz kilka prostych wniosków:
1. \(\displaystyle{ 44 > 5b}\) W przeciwnym wypadku \(\displaystyle{ b<0}\), co prowadzi do sprzeczności. Stąd \(\displaystyle{ 8,8 > b}\).
2. \(\displaystyle{ 44 - 5b}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\). W przeciwnym wypadku iloraz jest niecałkowity, co prowadzi do sprzeczności.
3. Z 2) wynika, że reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 5b}\) przez \(\displaystyle{ 3}\) jest równa tyle, co reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 44}\) przez \(\displaystyle{ 3}\), czyli \(\displaystyle{ 2}\). W przeciwnym wypadku różnica dawałaby inną resztę niż \(\displaystyle{ 0}\), czyli nie byłby spełniony warunek 2.
Zatem szukamy takich \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ 5b}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\). Obserwujemy, że musi ta liczba dawać resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\), w przeciwnym razie reszta będzie inna. Zatem będą to liczby \(\displaystyle{ 1,4,7}\). Ponieważ każdej wartości zmiennej \(\displaystyle{ b}\) odpowiada w równości jedna wartość zmiennej \(\displaystyle{ a}\), otrzymaliśmy maks. \(\displaystyle{ 3}\) rozwiązania. Ponieważ jednak warunki powyższe odrzucają wszystkie niepoprawne rozwiązania (gdyż rozwiązanie równania może być ujemne lub niecałkowite, a obie opcje całkowicie odrzuciliśmy) wnioskujemy, ze układ ma dokładnie 3 rozwiązania.
Starałem się być zrozumiały, mam nadzieję, że pomogłem.
Czółko.