Rownanie wykładnicze dwóch zmiennych w liczba całkowitych

[kokosek]

Witam.

Wymyśliłem sobie ciekawe (?) zadanie.
Otóż chciałbym wykazać, dla jakich x i y, \(\displaystyle{ x ^{y}=y ^{x}}\).
Oczywiście jest nieskończenie wiele takich par liczb.
Załóżmy więc, że \(\displaystyle{ x \neq y}\).
Nadal jest nieskończenie wiele takich par liczb.
Ostatnim założeniem będzie więc: \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{Z}}\).

Intuicyjnie \(\displaystyle{ (x=2 \wedge y=4) \vee (x=4 \wedge y=2)}\).
Jednak jak to udowodnić, że są to jedyne pary liczb (jeśli są...)?

[mateuszek89]

Okazuje się, że jedynymi rozwiązaniami takimi, że \(\displaystyle{ x,y \in Z}\) są \(\displaystyle{ x=y,(2,4),(4,2),(-2,-4),(-4,-2)}\).

Ukryta treść:    

Załóż, że \(\displaystyle{ x,y>0}\) oraz \(\displaystyle{ y \ge x}\). Następnie podzielmy nasze równanie przez \(\displaystyle{ x^x}\). Otrzymamy:
\(\displaystyle{ x^{y-x}=(\frac{y}{x})^{x}}\).
Wtedy lewa strona jest całkowita więc prawa strona również musi być całkowita. Z tego wynika, że \(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\) musi być całkowite(większe od 0).
Niech \(\displaystyle{ a=\frac{y}{x}}\).
Wtedy nasze równanie przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ x^{ax-x}=a^x}\)
Teraz biorąc pierwiastek stopnia \(\displaystyle{ x}\) mamy:
\(\displaystyle{ x^{a-1}=a}\)
Teraz możemy rozważać sytuację gdy \(\displaystyle{ x \ge 2}\). Wtedy:
1) \(\displaystyle{ a=1}\) zawsze działa czyli to jest sytuacja gdy \(\displaystyle{ x=y}\);
2) \(\displaystyle{ a=2}\), wtedy \(\displaystyle{ x^{2-1}=2}\) (dostajemy rozwiązanie \(\displaystyle{ x=2,y=4}\))
3) \(\displaystyle{ a=3}\), wtedy \(\displaystyle{ x^{a-1}>a}\);
4) dla \(\displaystyle{ a>3}\) mamy \(\displaystyle{ x^{a-1}=x \cdot x^{a-2}>x(a-1) \ge 2a-2 >2}\).
teraz musisz rozpatrzyć przypadki gdy \(\displaystyle{ x=1}\) oraz \(\displaystyle{ x=0}\). A potem zastanowić się co będzie się działo dla \(\displaystyle{ x<0}\).

[kokosek]

3) \(\displaystyle{ a=3}\), wtedy \(\displaystyle{ x^{a-1}>a}\);

Z tym bym się nie zgodził, bo skoro wcześniej napisałeś, że \(\displaystyle{ x^{a-1}=a}\) to nie mogło się z = zrobić >. Jeśli tak, to proszę o wytłumaczenie.
No i jeszcze nie rozumiem:
\(\displaystyle{ x*x ^{a-2} > x(a-1) \ge 2a-2 > 2}\)
No w sumie rozumiem tę końcówkę, chociaż wg mnie powinno być \(\displaystyle{ x(a-1) > 2a-2}\).
Czyli nie rozumiem:
\(\displaystyle{ x*x ^{a-2} > x(a-1)}\)

Przepraszam, że tak późno odpisuję, ale próbowałem to zrozumieć sam + miałem sporo pracy w szkole.

[mateuszek89]

Nie ma sprawy. Nie trzeba przepraszać, bo chętnie pomogę:) jeśli chodzi o pierwszą uwagę to wszystko jest ok, bo rozpatrujemy \(\displaystyle{ x \ge 2}\). Zauważ, że wtedy taka nierówność zachodzi czyli nie ma rozwiązań tutaj. jeśli chodzi o 2 uwagę to ta nierówność zachodzi, bo \(\displaystyle{ x^{a-2}>a-1}\) m.in. już z 3 masz to. Zauważ, że taka nierówność zawsze zachodzi.
Pozdrawiam!