Zbadaj czy istnieją liczby takie, że
-
Hebo
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 19 lis 2009, o 19:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Małopolskie
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 9 razy
Zbadaj czy istnieją liczby takie, że
Zbadaj czy istnieją takie dwie liczby które są wymierne i nie całkowite których suma jak i suma kwadratów są liczbami całkowitymi.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Zbadaj czy istnieją liczby takie, że
Załóżmy, że istnieją takie liczby wymierne \(\displaystyle{ p,q}\). Wówczas całkowite są liczby:
\(\displaystyle{ (p+q)^2-(p^2+q^2)=2pq\\
(p^2+q^2)-2pq=(p-q)^2\\
p-q\\
(p+q)+(p-q)=2p\\
(p+q)-(p-q)=2q}\)
Skoro \(\displaystyle{ 2p,2q}\) są całkowite, a \(\displaystyle{ p,q}\) nie są całkowite, to dla pewnych liczb całkowitych nieparzystych \(\displaystyle{ n,m}\) jest \(\displaystyle{ p=\frac n2,q=\frac m2}\). Stąd już łatwo doprowadzić do sprzeczności z założeniem, że \(\displaystyle{ p^2+q^2}\) jest całkowite, co będzie oznaczało, że takie liczby nie istnieją.
Q.
\(\displaystyle{ (p+q)^2-(p^2+q^2)=2pq\\
(p^2+q^2)-2pq=(p-q)^2\\
p-q\\
(p+q)+(p-q)=2p\\
(p+q)-(p-q)=2q}\)
Skoro \(\displaystyle{ 2p,2q}\) są całkowite, a \(\displaystyle{ p,q}\) nie są całkowite, to dla pewnych liczb całkowitych nieparzystych \(\displaystyle{ n,m}\) jest \(\displaystyle{ p=\frac n2,q=\frac m2}\). Stąd już łatwo doprowadzić do sprzeczności z założeniem, że \(\displaystyle{ p^2+q^2}\) jest całkowite, co będzie oznaczało, że takie liczby nie istnieją.
Q.