Reszty kwadratowe

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
fala21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 20 lip 2009, o 00:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 3 razy

Reszty kwadratowe

Post autor: fala21 »

Witam. Mam problem z dwoma zadaniami. Bedę wdzięczny za pomoc. Oto zadania.

\(\displaystyle{ 1.}\)Dla jakich liczb pierwszych nieparzystych liczba \(\displaystyle{ -3}\) jest resztą kwadratową modulo p.

\(\displaystyle{ 2.}\) Niech \(\displaystyle{ p \in P, p>2}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ 1 ^{2} \cdot 3 ^{2} \cdot 5 ^{2} \cdot ...... \cdot (p-2) ^{2} \equiv (-1) ^{ \frac{p+1}{2} } (mod p)}\)
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Reszty kwadratowe

Post autor: Ponewor »

Zadanie pojawiło się w \(\displaystyle{ 101}\) nierozwiązanych.
\(\displaystyle{ 1=\genfrac(){}{0}{-3}{p}=\genfrac(){}{0}{-1}{p} \cdot \genfrac(){}{0}{3}{p}=\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}}\cdot \genfrac(){}{0}{3}{p}=\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}}\cdot \genfrac(){}{0}{p}{3}\cdot \left(-1\right)^{\frac{\left (p-1\right)\left (3-1\right)}{4}}=\genfrac(){}{0}{p}{3} \equiv p^{\frac{3-1}{2}}\equiv p \pmod{3}}\)
Skąd natychmiastowa odpowiedź to wszystkie liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 3k+1}\).
ODPOWIEDZ