wykazanie nierówności

[darek20]

wykaz dla kazdej liczby naturalnej bez zera
\(\displaystyle{ \left\lfloor n\sqrt 3\right\rfloor\left\{n\sqrt 3\right\}>\frac{3}{5}}\)

[arek1357]

podstaw :

\(\displaystyle{ \{n \sqrt{3}\}=n \sqrt{3}-[n \sqrt{3}]}\)

i otrzymasz po przekształceniach:

\(\displaystyle{ [n \sqrt{3}]^{2}-n \sqrt{3}[n \sqrt{3}]+ \frac{3}{5}<0}\)

podstaw:

\(\displaystyle{ x=[n \sqrt{3}]}\)

i masz:

\(\displaystyle{ x^{2}-n \sqrt{3}x+ \frac{3}{5}<0}\)

i porozwiązuj pobaw sie...

[mol_ksiazkowy]

Zadanie jest ze 101 Nierozwiązanych

wykaz dla kazdej liczby naturalnej bez zera
\(\displaystyle{ \left\lfloor n\sqrt 3\right\rfloor\left\{n\sqrt 3\right\}>\frac{3}{5}}\)

Niech \(\displaystyle{ k = \lfloor n\sqrt 3 \rfloor}\), a zatem: \(\displaystyle{ k+1 > n\sqrt{3}}\).

Także \(\displaystyle{ k < n \sqrt{3}}\), tj. \(\displaystyle{ k^2 < 3n^2}\). Ale \(\displaystyle{ 3n^2 = 1+ k^2}\) jest niemożliwym, tj.: \(\displaystyle{ k^2 + 2 \leq 3n^2}\).


\(\displaystyle{ \{ n\sqrt{3} \} = n\sqrt{3} - k \geq n\sqrt{3} - \sqrt{3n^2 -2} = \frac{2}{ n\sqrt{3} + \sqrt{3n^2 -2} }}\)

(*) no i: \(\displaystyle{ \lfloor n\sqrt 3 \rfloor \ \{ n\sqrt{3} \} \geq \frac{2(\sqrt{3n^2 }- 1)}{ n\sqrt{3} + \sqrt{3n^2 -2} }}\),

Jednak \(\displaystyle{ \lim \frac{2(\sqrt{3n^2 } - 1)}{ n\sqrt{3} + \sqrt{3n^2 -2} }=1}\) a wiec istnieje \(\displaystyle{ N>0}\):

dla kazdej liczby naturalnej bez zera
\(\displaystyle{ \left\lfloor n\sqrt 3\right\rfloor\left\{n\sqrt 3\right\}>\frac{3}{5}}\) gdy n >N

Ile to jest min z \(\displaystyle{ \frac{2(\sqrt{m }-1)}{ \sqrt{m} + \sqrt{m -2} }}\) gdy \(\displaystyle{ m>2}\) ….?

[mol_ksiazkowy]

cd zadania ...
cd

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ f(x)= (x-1)(x- \sqrt{x^2-2})}\) dla \(\displaystyle{ x > \sqrt{2}}\)
Czy \(\displaystyle{ f^{\prime}(x) >0}\) dla \(\displaystyle{ x > 3}\) ?

[Ponewor]

Dla \(\displaystyle{ m \ge 7}\) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{2(\sqrt{m }-1)}{ \sqrt{m} + \sqrt{m -2} }=\frac{\frac{3}{5}\sqrt{m}+\frac{3}{5}\sqrt{m}+\frac{4}{5}\sqrt{m}-2}{\sqrt{m}+\sqrt{m-2}}>\frac{\frac{3}{5}\sqrt{m}+\frac{3}{5}\sqrt{m-2}+\frac{4}{5}\sqrt{\frac{25}{4}}-2}{\sqrt{m}+\sqrt{m-2}}=\frac{3}{5}}\)

Ogólnie nierówność \(\displaystyle{ \frac{2(\sqrt{m }-1)}{ \sqrt{m} + \sqrt{m -2} } > \frac{3}{5}}\) równoważna jest nierówności \(\displaystyle{ 7\sqrt{m}> 3\sqrt{m-2}+10}\), więc wystarczy ją sprawdzić dla \(\displaystyle{ m=3, \ 4, \ 5, \ 6}\).

Działa ona łatwo dla \(\displaystyle{ m=6}\), bo to jest \(\displaystyle{ 7\sqrt{6} >16}\) czyli \(\displaystyle{ 294>256}\).
Dla \(\displaystyle{ m=5}\) jest to \(\displaystyle{ 7\sqrt{5} > 7 \cdot 2.2 = 15.4 =3 \cdot 1.8+10 > 3\sqrt{3} +10}\).

Dla \(\displaystyle{ m=3, \ 4}\), to może nie zadziałać, więc lepiej sprawdźmy po prostu tezę zadania.
Ale nietrudno dowieść, że \(\displaystyle{ 6.5 < 4\sqrt{3} < 7}\) skąd już mamy dobre oszacowania na część całkowitą i ułamkową przy \(\displaystyle{ m=4}\).
No a dla \(\displaystyle{ m=3}\) dowodzimy takie oszacowanie \(\displaystyle{ 5.13 < 3\sqrt{3} < 6}\) i pozamiatane.