Korzystając z własności symbolu Legendre'a rozwiązać zadania:
1. Wykaż, że \(\displaystyle{ 2^{n} - 1}\), gdzie n jest nieparzyste, ma wszystkie dzielniki postaci \(\displaystyle{ 8k \pm 1}\)
2. Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie \(\displaystyle{ x^{2} = y^{3} - 5}\)
Wpadłem w 1 jedynie na to, by zapisać liczbę \(\displaystyle{ 2^{n} - 1}\) jako \(\displaystyle{ 8^{m} - 1}\), bo \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste z założenia. Drugiego nie umiem wcale ruszyć.
Symbol Legendre’a, ćwiczenia.
-
frej
Symbol Legendre’a, ćwiczenia.
1. \(\displaystyle{ 2\cdot \left( 2^n \right)^2 \equiv 1 \pmod{p}}\) czyli \(\displaystyle{ (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}=\left( \frac{2}{p} \right)=1}\)
2. Udowodnimy, że takie równanie nie ma rozwiązań całkowitych,
Gdyby \(\displaystyle{ 2|y}\) to \(\displaystyle{ 3}\) jest resztą \(\displaystyle{ \pmod {8}}\)
Gdyby \(\displaystyle{ y \equiv 3 \pmod{4}}\) to \(\displaystyle{ 2}\) jest resztą \(\displaystyle{ \pmod {4}}\)
Zatem \(\displaystyle{ y=4k+1}\)
Wtedy \(\displaystyle{ x^2+4=4k(16k^2+12k+3)}\)
Liczba w nawiasie jest postaci \(\displaystyle{ 4l+3}\), czyli liczba pierwsza postaci \(\displaystyle{ 4i+3}\) dzieli \(\displaystyle{ x^2+4}\) zatem ta liczba pierwsza dzieli tez \(\displaystyle{ 2}\) - sprzeczność
2. Udowodnimy, że takie równanie nie ma rozwiązań całkowitych,
Gdyby \(\displaystyle{ 2|y}\) to \(\displaystyle{ 3}\) jest resztą \(\displaystyle{ \pmod {8}}\)
Gdyby \(\displaystyle{ y \equiv 3 \pmod{4}}\) to \(\displaystyle{ 2}\) jest resztą \(\displaystyle{ \pmod {4}}\)
Zatem \(\displaystyle{ y=4k+1}\)
Wtedy \(\displaystyle{ x^2+4=4k(16k^2+12k+3)}\)
Liczba w nawiasie jest postaci \(\displaystyle{ 4l+3}\), czyli liczba pierwsza postaci \(\displaystyle{ 4i+3}\) dzieli \(\displaystyle{ x^2+4}\) zatem ta liczba pierwsza dzieli tez \(\displaystyle{ 2}\) - sprzeczność