rozwiąż w zbiorze liczb całkowitych rówanie

[matfiz94]

Rozwiąż w zbiorze liczb całkowitych rówania:
a)\(\displaystyle{ 1+2 ^{x} =y ^{2}}\)
b)\(\displaystyle{ 2\left| m\right| -(-1) ^{m} =7}\)

[irena_1]

a)
\(\displaystyle{ 1+2^x=y^2\\2^x=y^2-1\\2^x=(y+1)(y-1)}\)
Z lewej strony równania mamy potęgę liczby 2, z prawej iloczyn dwóch liczb całkowitych różniących się o 2. Obie te liczby muszą być równe potęgom liczby 2 lub muszą być liczbami przeciwnymi do potęg liczby 2.
Według mnie jedyne takie liczby to 2 i 4 lub -2 i -4.
Wtedy:
\(\displaystyle{ y-1=2\ \ \vee\ \ y-1=-4\\y=3\ \ \vee\ \ y=-3\\x=3}\)

Są to pary: (3, 3) lub (3, -3).-- 10 lut 2011, o 14:52 --2.
Jeśli m jest liczbą parzystą, to mamy równanie:
\(\displaystyle{ 2|m|-1=7\\2|m|=8\\|m|=4\\m=4\ \vee\ m=-4}\)

Jeśli m jest liczbą nieparzystą, to mamy równanie:
\(\displaystyle{ 2|m|+1=7\\2|m|=6\\|m|=3\\m=3\ \vee\ m=-3}\)

\(\displaystyle{ m\in\left\{-4,\ -3,\ 3,\ 4 \right\}}\)

[sebnorth]

a) Niech liczby całkowite \(\displaystyle{ x, y}\) spełniają równanie. Rozważmy 3 przypadki.

1) \(\displaystyle{ x > 0}\)
Lewa strona jest liczbą nieparzystą. Zatem y musi być liczbą nieparzystą \(\displaystyle{ 2k+1, k \ge 0}\), całkowite,

\(\displaystyle{ 1 + 2^{x} = 4k^{2} + 4k + 1}\)

\(\displaystyle{ 2^{x} = 4k^{2} + 4k = 4k(k+1)}\).

Jedna z liczb \(\displaystyle{ k, k+1}\) musi być nieparzysta. Jedyne możliwości to Zatem \(\displaystyle{ k=1, k+1 = 2}\) lub \(\displaystyle{ k=-2, k+1 = -1}\). Czyli

\(\displaystyle{ 2^{x} = 8}\)

\(\displaystyle{ x=3}\).

\(\displaystyle{ y = 2k+1 = 3}\) lub \(\displaystyle{ y = 2k+1 = -3}\).

2) \(\displaystyle{ x= 0}\). Wówczas \(\displaystyle{ y^{2}=2}\). Czyli brak rozwiązań całkowitych.

3) \(\displaystyle{ x<0}\). Liczba \(\displaystyle{ 1 + 2^{x}}\) nie będzie liczbą całkowitą zatem tu równieź nie będzie rozwiązań.

Ostatecznie pary \(\displaystyle{ (3,3), (3,-3)}\) są jedynymi rozwiązaniami.



b)

\(\displaystyle{ 2\left| m\right| =7 +(-1) ^{m} = 6}\) lub \(\displaystyle{ 8}\) w zależności od parzystości \(\displaystyle{ m}\).

Jesli \(\displaystyle{ 2|m}\) to \(\displaystyle{ 2|m| = 8}\) i dostajemy rozwiązania \(\displaystyle{ 4,-4}\).

Podobnie robimy przypadek dla m nieparzystego.

[matfiz94]

Skąd się wzięły te założenia

Jedna z liczb \(\displaystyle{ k, k+1}\) musi być nieparzysta. Jedyne możliwości to Zatem \(\displaystyle{ k=1, k+1 = 2}\) lub \(\displaystyle{ k=-2, k+1 = -1}\).

Skoro wcześniej napisałeś, że

\(\displaystyle{ k \ge 0}\), całkowite

[abc666]

Skoro się ma wymnożyć do całkowitej potęgi dwójki to nie może być innych czynników niż potęgi dwójki (ewentualnie ze znakiem minus).

[sebnorth]

do matfiz94:

ma Pan/Pani rację, zagalopowałem się, to założenie jest niepotrzebne,