Rozwiąż w zbiorze liczb całkowitych rówania:
a)\(\displaystyle{ 1+2 ^{x} =y ^{2}}\)
b)\(\displaystyle{ 2\left| m\right| -(-1) ^{m} =7}\)
rozwiąż w zbiorze liczb całkowitych rówanie
rozwiąż w zbiorze liczb całkowitych rówanie
Ostatnio zmieniony 10 lut 2011, o 13:49 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Użytkownik
- Posty: 496
- Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 122 razy
rozwiąż w zbiorze liczb całkowitych rówanie
a)
\(\displaystyle{ 1+2^x=y^2\\2^x=y^2-1\\2^x=(y+1)(y-1)}\)
Z lewej strony równania mamy potęgę liczby 2, z prawej iloczyn dwóch liczb całkowitych różniących się o 2. Obie te liczby muszą być równe potęgom liczby 2 lub muszą być liczbami przeciwnymi do potęg liczby 2.
Według mnie jedyne takie liczby to 2 i 4 lub -2 i -4.
Wtedy:
\(\displaystyle{ y-1=2\ \ \vee\ \ y-1=-4\\y=3\ \ \vee\ \ y=-3\\x=3}\)
Są to pary: (3, 3) lub (3, -3).-- 10 lut 2011, o 14:52 --2.
Jeśli m jest liczbą parzystą, to mamy równanie:
\(\displaystyle{ 2|m|-1=7\\2|m|=8\\|m|=4\\m=4\ \vee\ m=-4}\)
Jeśli m jest liczbą nieparzystą, to mamy równanie:
\(\displaystyle{ 2|m|+1=7\\2|m|=6\\|m|=3\\m=3\ \vee\ m=-3}\)
\(\displaystyle{ m\in\left\{-4,\ -3,\ 3,\ 4 \right\}}\)
\(\displaystyle{ 1+2^x=y^2\\2^x=y^2-1\\2^x=(y+1)(y-1)}\)
Z lewej strony równania mamy potęgę liczby 2, z prawej iloczyn dwóch liczb całkowitych różniących się o 2. Obie te liczby muszą być równe potęgom liczby 2 lub muszą być liczbami przeciwnymi do potęg liczby 2.
Według mnie jedyne takie liczby to 2 i 4 lub -2 i -4.
Wtedy:
\(\displaystyle{ y-1=2\ \ \vee\ \ y-1=-4\\y=3\ \ \vee\ \ y=-3\\x=3}\)
Są to pary: (3, 3) lub (3, -3).-- 10 lut 2011, o 14:52 --2.
Jeśli m jest liczbą parzystą, to mamy równanie:
\(\displaystyle{ 2|m|-1=7\\2|m|=8\\|m|=4\\m=4\ \vee\ m=-4}\)
Jeśli m jest liczbą nieparzystą, to mamy równanie:
\(\displaystyle{ 2|m|+1=7\\2|m|=6\\|m|=3\\m=3\ \vee\ m=-3}\)
\(\displaystyle{ m\in\left\{-4,\ -3,\ 3,\ 4 \right\}}\)
- sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
rozwiąż w zbiorze liczb całkowitych rówanie
a) Niech liczby całkowite \(\displaystyle{ x, y}\) spełniają równanie. Rozważmy 3 przypadki.
1) \(\displaystyle{ x > 0}\)
Lewa strona jest liczbą nieparzystą. Zatem y musi być liczbą nieparzystą \(\displaystyle{ 2k+1, k \ge 0}\), całkowite,
\(\displaystyle{ 1 + 2^{x} = 4k^{2} + 4k + 1}\)
\(\displaystyle{ 2^{x} = 4k^{2} + 4k = 4k(k+1)}\).
Jedna z liczb \(\displaystyle{ k, k+1}\) musi być nieparzysta. Jedyne możliwości to Zatem \(\displaystyle{ k=1, k+1 = 2}\) lub \(\displaystyle{ k=-2, k+1 = -1}\). Czyli
\(\displaystyle{ 2^{x} = 8}\)
\(\displaystyle{ x=3}\).
\(\displaystyle{ y = 2k+1 = 3}\) lub \(\displaystyle{ y = 2k+1 = -3}\).
2) \(\displaystyle{ x= 0}\). Wówczas \(\displaystyle{ y^{2}=2}\). Czyli brak rozwiązań całkowitych.
3) \(\displaystyle{ x<0}\). Liczba \(\displaystyle{ 1 + 2^{x}}\) nie będzie liczbą całkowitą zatem tu równieź nie będzie rozwiązań.
Ostatecznie pary \(\displaystyle{ (3,3), (3,-3)}\) są jedynymi rozwiązaniami.
b)
\(\displaystyle{ 2\left| m\right| =7 +(-1) ^{m} = 6}\) lub \(\displaystyle{ 8}\) w zależności od parzystości \(\displaystyle{ m}\).
Jesli \(\displaystyle{ 2|m}\) to \(\displaystyle{ 2|m| = 8}\) i dostajemy rozwiązania \(\displaystyle{ 4,-4}\).
Podobnie robimy przypadek dla m nieparzystego.
1) \(\displaystyle{ x > 0}\)
Lewa strona jest liczbą nieparzystą. Zatem y musi być liczbą nieparzystą \(\displaystyle{ 2k+1, k \ge 0}\), całkowite,
\(\displaystyle{ 1 + 2^{x} = 4k^{2} + 4k + 1}\)
\(\displaystyle{ 2^{x} = 4k^{2} + 4k = 4k(k+1)}\).
Jedna z liczb \(\displaystyle{ k, k+1}\) musi być nieparzysta. Jedyne możliwości to Zatem \(\displaystyle{ k=1, k+1 = 2}\) lub \(\displaystyle{ k=-2, k+1 = -1}\). Czyli
\(\displaystyle{ 2^{x} = 8}\)
\(\displaystyle{ x=3}\).
\(\displaystyle{ y = 2k+1 = 3}\) lub \(\displaystyle{ y = 2k+1 = -3}\).
2) \(\displaystyle{ x= 0}\). Wówczas \(\displaystyle{ y^{2}=2}\). Czyli brak rozwiązań całkowitych.
3) \(\displaystyle{ x<0}\). Liczba \(\displaystyle{ 1 + 2^{x}}\) nie będzie liczbą całkowitą zatem tu równieź nie będzie rozwiązań.
Ostatecznie pary \(\displaystyle{ (3,3), (3,-3)}\) są jedynymi rozwiązaniami.
b)
\(\displaystyle{ 2\left| m\right| =7 +(-1) ^{m} = 6}\) lub \(\displaystyle{ 8}\) w zależności od parzystości \(\displaystyle{ m}\).
Jesli \(\displaystyle{ 2|m}\) to \(\displaystyle{ 2|m| = 8}\) i dostajemy rozwiązania \(\displaystyle{ 4,-4}\).
Podobnie robimy przypadek dla m nieparzystego.
rozwiąż w zbiorze liczb całkowitych rówanie
Skąd się wzięły te założenia
Skoro wcześniej napisałeś, żesebnorth pisze:Jedna z liczb \(\displaystyle{ k, k+1}\) musi być nieparzysta. Jedyne możliwości to Zatem \(\displaystyle{ k=1, k+1 = 2}\) lub \(\displaystyle{ k=-2, k+1 = -1}\).
sebnorth pisze: \(\displaystyle{ k \ge 0}\), całkowite
rozwiąż w zbiorze liczb całkowitych rówanie
Skoro się ma wymnożyć do całkowitej potęgi dwójki to nie może być innych czynników niż potęgi dwójki (ewentualnie ze znakiem minus).
- sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
rozwiąż w zbiorze liczb całkowitych rówanie
do matfiz94:
ma Pan/Pani rację, zagalopowałem się, to założenie jest niepotrzebne,
ma Pan/Pani rację, zagalopowałem się, to założenie jest niepotrzebne,