Układ równań

[envicious]

W jaki sposób rozwiązać poniższy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x+1)^2 \cdot (y+1)^2=27xy \\ (x^2+1) \cdot (y^2+1)=10xy \end{cases}}\)

Z gory dziekuje za wszystkie podpowiedz / rozwiazania

[Kamil Wyrobek]

Pierwszy przypadek można zapisać tak:

\(\displaystyle{ x^2y^2+2x^2y+x^2+2xy^2+4xy+2x+y^2+2y+1=27xy}\)


\(\displaystyle{ x^2y^2+x^2+y^2+1=10xy}\)

Odejmij to od siebie i napisz co wyszło

-- 7 lut 2011, o 20:37 --

Jak odejmiesz to \(\displaystyle{ 13xy}\) na lewą stronę i spróbuj doszukać się wzorów w jakie można by zapisać takie wielkie równania

[envicious]

Odejmowalem, dodawalem, szukałem już dawno i wiele razy, dlatego pisze tutaj
a skoro pytasz, to wyszly mi takie dziwy:
\(\displaystyle{ x^2\cdot y^2+x^2+y^2+1=10xy\\
2(x^2 \cdot y+x \cdot y^2+x+y)=13xy\\
x^2 \cdot y^2+2x^2+x^2+2xy^2+4xy+2x+y^2+2y+1=27xy}\)

(co mozna tez zapisac \(\displaystyle{ (xy+x+y+1)^2}\))

Edit: kosmetyk

[Kamil Wyrobek]

Od razu mówię, że nie sprawdzałem Twojego...

"co można tak zapisać" ale jeżeli ma być tak jak mówisz to patrz... xD

\(\displaystyle{ (xy+y+x+1)^2 = (y(x+1)+1(x+1))^2 = ((y+1)(x+1))^2}\)

[envicious]

Od razu mówię, że nie sprawdzałem Twojego...

"co można tak zapisać" ale jeżeli ma być tak jak mówisz to patrz... xD

\(\displaystyle{ (xy+y+x+1)^2 = (y(x+1)+1(x+1))^2 = ((y+1)(x+1))^2}\)

\(\displaystyle{ ((y+1)(x+1))^2 \Rightarrow (x+1)^2 \cdot (y+1)^2}\)

Wydaje mi się, że tu trzeba coś "zauważyć" w pewnym momencie ;/

[arek1357]

W pewnym momencie ten układ równań łatwo sprowadzić do równania jednej zmiennej

\(\displaystyle{ [(x+1)^{2}-2x][(y+1)^{2}-2y]=10xy}\)

\(\displaystyle{ (x+1)^{2}(y+1)^{2}-2y(x+1)^{2}-2x(y+1)^{2}=6xy}\)

teraz podstaw za pierwsze nawiasy 27xy i masz;

\(\displaystyle{ 21xy=2x(y+1)^{2}+2y(x+1)^{2}}\)

ale:

\(\displaystyle{ (y+1)^{2}= \frac{27xy}{(x+1)^{2}}}\)

podstaw skrócisz przez y i masz równanie o jednej zmiennej:

\(\displaystyle{ 21x=2x \frac{27x}{(x+1)^{2}}+2(x+1)^{2}}\)

Wyjdzie równanie trzeciego stopnia wielomian co jest do przeliczenia...