Mam układ dwóch równań do rozwiązania w liczbach naturalnych
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy=120\\ [x,y]=30\end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ [x,y]}\) oznacza najmniejszą wspólną wielokrotność, \(\displaystyle{ (x,y)}\) największy wspólny dzielnik.
Wiem że \(\displaystyle{ xy=120 \Rightarrow (x,y)*[x,y]=120}\) Czyli patrząc na drugie równanko \(\displaystyle{ (x,y)=4}\). Wtedy istnieją m,n wględnie pierwsze takie że \(\displaystyle{ x=4m}\) i \(\displaystyle{ y=4n}\).
Czyli po podstawieniu do pierwszego równania układu \(\displaystyle{ 4m*4n=120}\) Ale 16 nie dzieli 120, więc brak rozwiązań naturalnych, błąd w zadaniu czy mój?
Układ równań NWW I NWD
-
sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Układ równań NWW I NWD
Masz rację. Ja trochę inaczej na to spojrzałem:
\(\displaystyle{ [x,y]=30 = 2 \cdot 3 \cdot 5.}\)
To oznacza, że żadna z liczb \(\displaystyle{ x,y}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 2^{2}}\)
Natomiast wiemy, że \(\displaystyle{ xy=120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5}\). Zatem jedna z liczb x,y musi się dzielić przez co najmniej \(\displaystyle{ 2^{2}}\).
\(\displaystyle{ [x,y]=30 = 2 \cdot 3 \cdot 5.}\)
To oznacza, że żadna z liczb \(\displaystyle{ x,y}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 2^{2}}\)
Natomiast wiemy, że \(\displaystyle{ xy=120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5}\). Zatem jedna z liczb x,y musi się dzielić przez co najmniej \(\displaystyle{ 2^{2}}\).