Od jakiegoś czasu szukam dowodu, że poniższe równanie nie ma innych rozwiązań, niż dla wszystkich zmiennych równych jeden. Czy poniższe rozumowanie tego dowodzi, czy popełniam gdzieś błąd? Wszystkie zmienne użyte poniżej to liczby naturalne bez zera, poza \(\displaystyle{ x}\) który może być również równy 0.
Mamy równanie:
\(\displaystyle{ \frac {3^{e} \cdot f - 1}{2^{e} \cdot f - 1} = 2^{y}}\)
Załóżmy, że nie wiemy czy ma ono jakiekolwiek rozwiązania. Pomysł polega dla rozpatrzeniu wszyskich liczb nieparzystych które mogą pojawić się w mianowniku i sprawdzeniu, czy dla którejś z nich równanie może być spełnione.
Wiemy, że inne tego rodzaju podobne równanie ma rozwiązania:
\(\displaystyle{ \frac {3^{a} \cdot k - b}{2^{a} \cdot k - b} = 2^{z}}\)
gdy \(\displaystyle{ k=b}\). \(\displaystyle{ b}\) to liczba nieparzysta. Są to rozwiązania:
\(\displaystyle{ \frac {3^{a}-1}{2^{a}-1} = 2^{z}}\)
było udowadniane już gdzieś na tym forum, że takie równanie nie ma innych rozwiązań niż dla \(\displaystyle{ a=1}\) i \(\displaystyle{ z=1}\).
Uwzględniając ten fakt możemy przyrównać dwa równania:
\(\displaystyle{ 2^{x} \cdot \frac {3^{a} \cdot k - b}{2^{a} \cdot k - b} = \frac {3^{e} \cdot f - 1}{2^{e} \cdot f - 1}}\)
i sprawdzić, czy może zajść równość gdy \(\displaystyle{ {2^{a} \cdot k - b}={2^{e} \cdot f - 1}}\). Wiemy, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ 2^{a} \cdot k - b}\) (która może być dowolną liczbą nieparzystą) drugie równanie od góry na pewno ma rozwiązanie, jeżeli pierwsze równanie ma również jakieś rozwiązania, musi zajść taka właśnie równość pomiędzy równaniami.
Po podstawieniu tego co wiemy (\(\displaystyle{ a=1}\), \(\displaystyle{ k=b}\) i założenia \(\displaystyle{ {2^{a} \cdot k - b}={2^{e} \cdot f - 1}}\)):
\(\displaystyle{ 2^{x} \cdot 2 = \frac {3^{e} \cdot f - 1}{1}}\)
Wynika z tego, że równanie:
\(\displaystyle{ \frac {3^{e} \cdot f - 1}{2^{e} \cdot f - 1} = 2^{y}}\)
Może mieć rozwiązania, tylko gdy wyrażenie w mianowniku będzie potęgą dwójki, a to oznacza, że równanie ma tylko jedno rozwiązanie, gdy wszystkie zmienne są równe 1.
