Żeby nie zakładać nowego tematu, to podepnę się pod ten. Dziś na kolokwium poprawkowym miałem obliczyć wartość funkcji eulera dla \(\displaystyle{ \phi (2500)}\). Chciałbym sprawdzić, czy dobrze zrobiłem, bo w sumie od tego zależy mój dalszy byt na uczelni... Mógłby ktoś podać chociaż sam wynik?
A może jednak nowy temat? Dasio11
Wartość funkcji Eulera dla dużego argumentu
Wartość funkcji Eulera dla dużego argumentu
Mógłby ktoś sprawdzić?
\(\displaystyle{ \phi(2500)=(5 \cdot 500)=\phi(5) \cdot \phi(500)=\phi(5) \cdot \phi(2) \cdot \phi(250)=\phi(5) \cdot \phi(2) \cdot \phi (5) \cdot \phi(50)= \phi(5) \cdot \phi(2) \cdot \phi (5) \cdot \phi(2) \cdot \phi(25)=\phi(5) \cdot \phi(2) \cdot \phi (5) \cdot \phi(2) \cdot \phi(5) \cdot \phi(5) = 4 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 1\cdot 4 \cdot 4 = 256}\)
\(\displaystyle{ \phi(2500)=(5 \cdot 500)=\phi(5) \cdot \phi(500)=\phi(5) \cdot \phi(2) \cdot \phi(250)=\phi(5) \cdot \phi(2) \cdot \phi (5) \cdot \phi(50)= \phi(5) \cdot \phi(2) \cdot \phi (5) \cdot \phi(2) \cdot \phi(25)=\phi(5) \cdot \phi(2) \cdot \phi (5) \cdot \phi(2) \cdot \phi(5) \cdot \phi(5) = 4 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 1\cdot 4 \cdot 4 = 256}\)
-
abc666
Wartość funkcji Eulera dla dużego argumentu
No niestety ale to nie jest dobrze.
\(\displaystyle{ \varphi (mn)=\varphi (m)\cdot \varphi (n)}\)
nie jest prawdziwe dla dowolnych \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \varphi (mn)=\varphi (m)\cdot \varphi (n)}\)
nie jest prawdziwe dla dowolnych \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\)
Wartość funkcji Eulera dla dużego argumentu
No to pięknie...
A czy dla liczb \(\displaystyle{ \varphi(25) \cdot \varphi(100)}\) byłoby dobrze (wtedy było by \(\displaystyle{ 5^2 \cdot 10^2}\) i dalej wg wzoru)?
A czy dla liczb \(\displaystyle{ \varphi(25) \cdot \varphi(100)}\) byłoby dobrze (wtedy było by \(\displaystyle{ 5^2 \cdot 10^2}\) i dalej wg wzoru)?
-
smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
Wartość funkcji Eulera dla dużego argumentu
Nie byłoby dobrze. 25 i 100 nie są względnie pierwsze. a ta własność, o której wspomniał abc666 w ogólności działa tylko dla liczb względnie pierwszych.
Wartość funkcji Eulera dla dużego argumentu
No właśnie też mi się tak zdawało. To rozwiązanie kolegi z grupy, czyli on też ma źle to zadanie...
-
Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
Wartość funkcji Eulera dla dużego argumentu
Ja bym to robił tak:
\(\displaystyle{ \varphi \left( 2500 \right) = \varphi \left( 2^2 \cdot 5^4 \right) = \varphi \left( 2^2 \right) \cdot \varphi \left( 5^4 \right) = \left( 2^2 - 2^1 \right) \left( 5^4 - 5^3 \right) = 2 \cdot 500 = 1000}\)
\(\displaystyle{ \varphi \left( 2500 \right) = \varphi \left( 2^2 \cdot 5^4 \right) = \varphi \left( 2^2 \right) \cdot \varphi \left( 5^4 \right) = \left( 2^2 - 2^1 \right) \left( 5^4 - 5^3 \right) = 2 \cdot 500 = 1000}\)