Wartość funkcji Eulera dla dużego argumentu
Wartość funkcji Eulera dla dużego argumentu
Żeby nie zakładać nowego tematu, to podepnę się pod ten. Dziś na kolokwium poprawkowym miałem obliczyć wartość funkcji eulera dla \(\displaystyle{ \phi (2500)}\). Chciałbym sprawdzić, czy dobrze zrobiłem, bo w sumie od tego zależy mój dalszy byt na uczelni... Mógłby ktoś podać chociaż sam wynik?
A może jednak nowy temat? Dasio11
A może jednak nowy temat? Dasio11
Wartość funkcji Eulera dla dużego argumentu
Mógłby ktoś sprawdzić?
\(\displaystyle{ \phi(2500)=(5 \cdot 500)=\phi(5) \cdot \phi(500)=\phi(5) \cdot \phi(2) \cdot \phi(250)=\phi(5) \cdot \phi(2) \cdot \phi (5) \cdot \phi(50)= \phi(5) \cdot \phi(2) \cdot \phi (5) \cdot \phi(2) \cdot \phi(25)=\phi(5) \cdot \phi(2) \cdot \phi (5) \cdot \phi(2) \cdot \phi(5) \cdot \phi(5) = 4 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 1\cdot 4 \cdot 4 = 256}\)
\(\displaystyle{ \phi(2500)=(5 \cdot 500)=\phi(5) \cdot \phi(500)=\phi(5) \cdot \phi(2) \cdot \phi(250)=\phi(5) \cdot \phi(2) \cdot \phi (5) \cdot \phi(50)= \phi(5) \cdot \phi(2) \cdot \phi (5) \cdot \phi(2) \cdot \phi(25)=\phi(5) \cdot \phi(2) \cdot \phi (5) \cdot \phi(2) \cdot \phi(5) \cdot \phi(5) = 4 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 1\cdot 4 \cdot 4 = 256}\)
Wartość funkcji Eulera dla dużego argumentu
No niestety ale to nie jest dobrze.
\(\displaystyle{ \varphi (mn)=\varphi (m)\cdot \varphi (n)}\)
nie jest prawdziwe dla dowolnych \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \varphi (mn)=\varphi (m)\cdot \varphi (n)}\)
nie jest prawdziwe dla dowolnych \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\)
Wartość funkcji Eulera dla dużego argumentu
No to pięknie...
A czy dla liczb \(\displaystyle{ \varphi(25) \cdot \varphi(100)}\) byłoby dobrze (wtedy było by \(\displaystyle{ 5^2 \cdot 10^2}\) i dalej wg wzoru)?
A czy dla liczb \(\displaystyle{ \varphi(25) \cdot \varphi(100)}\) byłoby dobrze (wtedy było by \(\displaystyle{ 5^2 \cdot 10^2}\) i dalej wg wzoru)?
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
Wartość funkcji Eulera dla dużego argumentu
Nie byłoby dobrze. 25 i 100 nie są względnie pierwsze. a ta własność, o której wspomniał abc666 w ogólności działa tylko dla liczb względnie pierwszych.
Wartość funkcji Eulera dla dużego argumentu
No właśnie też mi się tak zdawało. To rozwiązanie kolegi z grupy, czyli on też ma źle to zadanie...
- Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
Wartość funkcji Eulera dla dużego argumentu
Ja bym to robił tak:
\(\displaystyle{ \varphi \left( 2500 \right) = \varphi \left( 2^2 \cdot 5^4 \right) = \varphi \left( 2^2 \right) \cdot \varphi \left( 5^4 \right) = \left( 2^2 - 2^1 \right) \left( 5^4 - 5^3 \right) = 2 \cdot 500 = 1000}\)
\(\displaystyle{ \varphi \left( 2500 \right) = \varphi \left( 2^2 \cdot 5^4 \right) = \varphi \left( 2^2 \right) \cdot \varphi \left( 5^4 \right) = \left( 2^2 - 2^1 \right) \left( 5^4 - 5^3 \right) = 2 \cdot 500 = 1000}\)