Kiedy dana liczba jest pierwsza?

[Hetacz]

Mam takie zadanie, które chciałbym żeby ktoś mi pomół je rozwiązać:

znajdz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których \(\displaystyle{ n^4+4}\) jest liczbą pierwszą

Z góry dziękuję za pomoc.

[_el_doopa]

jesli \(\displaystyle{ n}\) jest niepodzielne przez \(\displaystyle{ 5}\) to
\(\displaystyle{ n^4 + 4 \equiv 0 \pmod{5}}\)
zatem dla \(\displaystyle{ n}\) niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\) mamy
jedynie \(\displaystyle{ n=1}\) spelnia warunki zadania,

jesli \(\displaystyle{ n \equiv 0 \pmod{5}}\) to mamy problem : )

[Desmondo]

No właśnie, a co jeśli n jest podzielne przez 5? Długo się nad tym zadaniem zastanawiałem, ale do niczego nie doszedłem...

[sierpinski]

A może by tak?

\(\displaystyle{ p}\) - l.pierwsza

\(\displaystyle{ n^{4}+4 = (n^{2})^{2} + 2^{2} = (n^{2} + 2)^{2} - 2 \cdot 2 \cdot n^{2} =\\= (n^{2} + 2)^{2} - (2n)^{2} = (n^{2} - 2n + 2)(n^{2} + 2n + 2) = p}\) (1)

ponieważ \(\displaystyle{ n>0}\), więc \(\displaystyle{ (n^{2} - 2n + 2) < (n^{2} + 2n + 2)}\)

(1) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow (n^{2} - 2n + 2 = 1}\) i \(\displaystyle{ n^{2} + 2n + 2 = p) \Leftrightarrow n=1}\) i \(\displaystyle{ p=5}\)

Jak wynika z powyższego, liczba \(\displaystyle{ n^{4}+4}\) jest liczbą pierwszą tylko dla \(\displaystyle{ n=1}\).

Nie wiem, dobrze?

[Desmondo]

Bardzo logiczne i wydaje mi się poprawne. Wielkie dzięki. Kurczę, też chciałbym takie rzeczy dostrzegać...

[sierpinski]

w tym co Ci napisałem brakuje jeszcze zapisu, że dla każdego naturalnego n \(\displaystyle{ n^{2}-2n+2>0}\) i \(\displaystyle{ n^{2}+2n+2>0}\). Dość ważne dla całości

[limes123]

Bardzo logiczne i wydaje mi się poprawne. Wielkie dzięki. Kurczę, też chciałbym takie rzeczy dostrzegać...

To jest akurat szczególny przypadek liczb postaci \(\displaystyle{ x^4+4y^4}\) z którymi związana jest tożsamość Sophie Germain - \(\displaystyle{ x^4+4y^4=(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2-2xy)}\).

[sierpinski]

O, i ja się czegoś przy okazji nauczyłem

[viruExe]

Gdyby ktoś trafił na to zadanie np. z tematu "Zbiór zadań - TEORIA LICZB", zamieszczam moje rozwiązanie.

Jak mówił limes123, \(\displaystyle{ n^4 + 4}\) jest szczególnym przypadkiem Tożsamości Sophie Germian - \(\displaystyle{ x^4+4y^4=(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2-2xy)}\).

Więc:
\(\displaystyle{ n^4 + 4 =(n^2 + 2 + 2n)(n^2 + 2 - 2n)}\) (dla \(\displaystyle{ x = n}\) i \(\displaystyle{ y = 1}\)).
Naszym zadaniem jest wyznaczenie takich \(\displaystyle{ n}\),
dla których w.w wyrażenie jest liczbą pierwszą.
(Dla gagatków: dowolną liczbę pierwszą \(\displaystyle{ k}\), możemy rozłożyć na czynnik pierwsze: \(\displaystyle{ 1 \cdot k}\))
Przyjmijmy, że mniejszy z czynników jest równy jeden: \(\displaystyle{ n^2 + (-2n) + 2 = 1}\)
Sprowadźmy teraz to równanie, do postaci \(\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0}\):
\(\displaystyle{ n^2 + (-2n) + 1 = 0}\), no i policzmy naszą ukochaną \(\displaystyle{ \Delta}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 4-4=0}\) - jeden pierwiastek
\(\displaystyle{ n = 1}\)

Liczba \(\displaystyle{ n^4 + 4}\) jest liczbą pierwszą tylko dla \(\displaystyle{ n=1}\).

Pozdro!

[Jan Kraszewski]

(Dla gagatków: dowolną liczbę pierwszą \(\displaystyle{ k}\), możemy rozłożyć na czynnik pierwsze: \(\displaystyle{ 1 \cdot k}\))

Stwierdzenie jest prawdziwe (bo każdą liczbę naturalną \(\displaystyle{ >1}\) można rozłożyć na czynniki pierwsze), natomiast uzasadnienie już nie. Rozkładem na czynniki pierwsze liczby pierwszej \(\displaystyle{ k}\) jest \(\displaystyle{ k}\) - jedynka nie jest liczbą pierwszą.

JK