W zadaniu trzeba wyznaczyć przykładowe rozwiązanie działania w liczbach natralnych za pomocą ułamków łańcuchowych:
\(\displaystyle{ 12x+19y=4}\)
Wiem jak to zrobić inną metodą ale tą nie mam pojęcia. Z góry dzięki za pomoc.
Równanie diofantyczne i ułamki łańcuchowe
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Równanie diofantyczne i ułamki łańcuchowe
Rozwiązujesz równanie:
\(\displaystyle{ 12x+19y=1}\)
następnie mnożysz rozwiązania przez \(\displaystyle{ 4}\).
Z kolei rozwiązanie tego równania jest równoważne znalezieniu rozwiązania równania
\(\displaystyle{ 12x-19y=1}\)
i pomnożeniu \(\displaystyle{ y}\)-ków przez \(\displaystyle{ -1}\).
W końcu rozwiązanietego ostatniego równania jest równoważne znalezieniu ułamka łańcuchowego reprezentującego liczbę:
\(\displaystyle{ \frac{12}{19}=[0,1,1,2,2]}\) przedostatni redukt to \(\displaystyle{ \frac 58}\).
Skąd:
\(\displaystyle{ x_n=8+19n}\)
\(\displaystyle{ y_n=5+12n}\)
i wobec tego rozwiązania pierwotnego równania mają postać:
\(\displaystyle{ (32+76n,-20-48n)}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{Z}}\).
\(\displaystyle{ 12x+19y=1}\)
następnie mnożysz rozwiązania przez \(\displaystyle{ 4}\).
Z kolei rozwiązanie tego równania jest równoważne znalezieniu rozwiązania równania
\(\displaystyle{ 12x-19y=1}\)
i pomnożeniu \(\displaystyle{ y}\)-ków przez \(\displaystyle{ -1}\).
W końcu rozwiązanietego ostatniego równania jest równoważne znalezieniu ułamka łańcuchowego reprezentującego liczbę:
\(\displaystyle{ \frac{12}{19}=[0,1,1,2,2]}\) przedostatni redukt to \(\displaystyle{ \frac 58}\).
Skąd:
\(\displaystyle{ x_n=8+19n}\)
\(\displaystyle{ y_n=5+12n}\)
i wobec tego rozwiązania pierwotnego równania mają postać:
\(\displaystyle{ (32+76n,-20-48n)}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{Z}}\).