rozwiązać układ równań

[kade]

Rozwiązać układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} 26x-141y=-697 \\ 55x-112y=202\end{cases}}\)

w \(\displaystyle{ Z_2, Z_3}\) oraz\(\displaystyle{ Z_5}\). Dzięki za pomoc

[111sadysta]

dawno to było
\(\displaystyle{ Z_2}\) to\(\displaystyle{ \{0, 1 \}}\) (reszta z dzielenia)
26 to 0
55 to 1
-141 to 1
-112 to 1
-687 to 1
222 to 0

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=1\\ x+y=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=1\\ x=-1\end{cases}}\)

analogicznie z \(\displaystyle{ Z_3}\) to\(\displaystyle{ \{0, 1, 2 \}}\)(reszta z dzielenia)
26 to 2
55 to 1
-141 to 0
-112 to -1 a to 2
-687 to 0
222 to 0

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2y=0\\ x+2y=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=0\\ x=0\end{cases}}\)

analogicznie
\(\displaystyle{ Z_5}\) to\(\displaystyle{ \{0, 1,2,3,4 \}}\) (reszta z dzielenia)
26 to 1
55 to 0
-141 to 4
-112 to 3
-687 to 3
222 to 2

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+4y=3\\ 3y=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y= \frac{1}{3} \\ x= \frac{2}{3} \end{cases}}\)

[kade]

dzięki za podpowiedzi. Wydaje mi się, że pewne rzeczy się nie zgadzają. Rozwiązania mają być w odpowiednim układzie reszt, więc nie mogą być ułamkami, nie mogą też być ujemne. Jeśli będę miał czas, to dopiszę rozwiązanie, które udało mi się uzyskać dzięki Twoim obliczeniom.

[111sadysta]

wstyd mi, nie pamiętam jak to było
ale faktycznie nie ma ułamków
do z liczbami ujemnymi, to np
-2 w \(\displaystyle{ Z_2}\)to jest 0
-3 w \(\displaystyle{ Z_2}\) to jest -1 więc to jest 1

-4 w \(\displaystyle{ Z_3}\) to jest -1 więc to jest 2

jest taka książka:
ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ cz.1 Banaszak,Gajda
naprawdę fajna i są w niej przykłady

[kade]

napiszę, co wyszło mi w \(\displaystyle{ Z_3}\). Będę wdzięczny za feedback. Więc zgodnie z tym, jak napisałeś, upraszczamy układ każdy ze współczynników, wyrazów wolnych. Będę pisał \(\displaystyle{ a \equiv_m b}\) zamiast \(\displaystyle{ a \equiv b (\mbox{mod } m)}\)
\(\displaystyle{ 26 \equiv_3 2

-141 \equiv_3 0

-697 \equiv_3 -1 \equiv_3 2

55 \equiv_3 1

-112 \equiv_3 -1 \equiv_3 2

202 \equiv_3 1}\)


Czyli uproszczony układ ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x = 2 \\ x - 2y = 1 \end{cases}}\)

W efekcie uzyskujemy \(\displaystyle{ x = 1}\) oraz \(\displaystyle{ y = 0}\).

Sprawdzenie:
(pierwsze równanie) \(\displaystyle{ 26 \cdot 1 - 141 \cdot 0 = 26 \equiv_3 2 \equiv_3 -697}\)
(drugie równanie) \(\displaystyle{ 55 \cdot 1 - 112 \cdot 0 = 55 \equiv_3 1 \equiv_3 202}\)

pozdrawiam

[111sadysta]

\(\displaystyle{ 26 \equiv 0 (\mbox{mod } 2)}\)
\(\displaystyle{ 55 \equiv 1 (\mbox{mod } 2)}\)
\(\displaystyle{ -141 \equiv 1 (\mbox{mod }2)}\)
\(\displaystyle{ -112 \equiv 1 (\mbox{mod } 2)}\)
\(\displaystyle{ -697 \equiv 1 (\mbox{mod } 2)}\)
\(\displaystyle{ 202 \equiv 0(\mbox{mod } 2)}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} y=1\\ x+y=1\end{cases}}\)
Czyli uproszczony układ ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=1\\ x=0\end{cases}}\)



jak było z ułamkami?