Mam problem takim zadaniem:
Udowodni, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba \(\displaystyle{ 3 ^{2n-1} + 2 ^{n+1}}\) jest podzielna przez 7.
udowodnij podzielność
-
math questions
- Użytkownik
- Posty: 923
- Rejestracja: 23 sie 2009, o 18:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: .....
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 171 razy
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
udowodnij podzielność
1) \(\displaystyle{ 3^{2n-1}+2^{n+1} \equiv 3^{2n} \cdot 3^{-1} + 2^{n+1} \equiv 2^{n} \cdot 5 + 2^{n+1} \equiv 2^n(5+2) \equiv 7\cdot 2^n \equiv 0 (mod \ 7)}\)
2) Zauważ, że \(\displaystyle{ 7^3 \equiv 2 (mod \ 11) \Rightarrow 7^{3n} \equiv 2^n (mod \ 11)}\)
\(\displaystyle{ 7^{3n}-4\cdot 3^{2n}+3\cdot 2^n \equiv 2^n-4\cdot 3^{2n}+3\cdot 2^n \equiv 2^n\cdot 4 - 4\cdot 3^{2n} \equiv 4(2^n-3^{2n}) (mod \ 11)}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ (4,11)=1}\) więc musi zachodzić:
\(\displaystyle{ 3^{2n} \equiv 2^n (mod \ 11) \Leftrightarrow 9^n \equiv 2^n (mod \ 11) \Leftrightarrow (-2)^n \equiv 2^n (mod \ 11)}\)
A to zajdzie wtedy i tylko wtedy, gdy n będzie parzyste, więc dane wyrażenie jest podzielne przez 11 dla wszystkich \(\displaystyle{ n=2k}\) gdzie k jest pewną liczbą naturalną.
Pozdrawiam.
2) Zauważ, że \(\displaystyle{ 7^3 \equiv 2 (mod \ 11) \Rightarrow 7^{3n} \equiv 2^n (mod \ 11)}\)
\(\displaystyle{ 7^{3n}-4\cdot 3^{2n}+3\cdot 2^n \equiv 2^n-4\cdot 3^{2n}+3\cdot 2^n \equiv 2^n\cdot 4 - 4\cdot 3^{2n} \equiv 4(2^n-3^{2n}) (mod \ 11)}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ (4,11)=1}\) więc musi zachodzić:
\(\displaystyle{ 3^{2n} \equiv 2^n (mod \ 11) \Leftrightarrow 9^n \equiv 2^n (mod \ 11) \Leftrightarrow (-2)^n \equiv 2^n (mod \ 11)}\)
A to zajdzie wtedy i tylko wtedy, gdy n będzie parzyste, więc dane wyrażenie jest podzielne przez 11 dla wszystkich \(\displaystyle{ n=2k}\) gdzie k jest pewną liczbą naturalną.
Pozdrawiam.