pokazać, że (0,0,0) jest jedynym rozwiązaniem równania...
pokazać, że (0,0,0) jest jedynym rozwiązaniem równania...
Udowodnić, że (0,0,0) jest jedynym całkowitoliczbowym rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz}\)
-
Marian517
- Użytkownik
- Posty: 47
- Rejestracja: 20 lip 2010, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Imielin
- Pomógł: 7 razy
pokazać, że (0,0,0) jest jedynym rozwiązaniem równania...
Udowodnijmy, że liczby x, y, z są parzyste.
Gdy liczby x, y, z są nieparzyste lewa strona równania nie jest podzielna przez 2, a prawa jest.
Podobnie gdy jedna spośród liczb x, y, z jest nieparzysta.
Gdy dwie liczby spośród x, y, z są nieparzyste liczba \(\displaystyle{ 2xyz}\) byłaby podzielna przez 4, natomiast liczba \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) nie.
Więc liczby x, y, z są parzyste.
a więc \(\displaystyle{ x=2x _{1}}\), \(\displaystyle{ y=2y_{1}}\), \(\displaystyle{ z=2z_{1}}\)
a więc \(\displaystyle{ x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}=4x_{1}y_{1}z_{1}}\)
W podobny sposób otrzymujemy, że liczby \(\displaystyle{ x_{1}, y_{1}, z_{1}}\) są parzyste i tak dalej. Stąd wynika, że jedynym rozwiązaniem tego równania jest (0,0,0)
Gdy liczby x, y, z są nieparzyste lewa strona równania nie jest podzielna przez 2, a prawa jest.
Podobnie gdy jedna spośród liczb x, y, z jest nieparzysta.
Gdy dwie liczby spośród x, y, z są nieparzyste liczba \(\displaystyle{ 2xyz}\) byłaby podzielna przez 4, natomiast liczba \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) nie.
Więc liczby x, y, z są parzyste.
a więc \(\displaystyle{ x=2x _{1}}\), \(\displaystyle{ y=2y_{1}}\), \(\displaystyle{ z=2z_{1}}\)
a więc \(\displaystyle{ x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}=4x_{1}y_{1}z_{1}}\)
W podobny sposób otrzymujemy, że liczby \(\displaystyle{ x_{1}, y_{1}, z_{1}}\) są parzyste i tak dalej. Stąd wynika, że jedynym rozwiązaniem tego równania jest (0,0,0)