udowodnić, że 21 dzieli...
udowodnić, że 21 dzieli...
Udowodnić, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ 21 | 2^{4^n} + 5}\)
-
cyberciq
- Użytkownik
- Posty: 450
- Rejestracja: 19 kwie 2010, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 43 razy
udowodnić, że 21 dzieli...
Tak, ale w 3 kroku po chamsku obliczenia zrobione w wolframie,zapewne można prościej to pomyślę nad bardziej eleganckim rozwiązaniem .
Dobra doszedłem do tego póki co:
dla n=1 spełnione, dla pewnego n mamy : \(\displaystyle{ 2 ^{4 ^{n}} +5=21k}\) , dla n+1 mamy: \(\displaystyle{ 2 ^{4 ^{n+1} }+5=2 ^{4 ^{n} \cdot 4} +5=(2 ^{4 ^{n}}) ^{4}+5=(21k-5) ^{4}+5}\)
Mamy też, że:
\(\displaystyle{ 21k-5\equiv-5(mod 21)\\(21k-5) ^{4} \equiv(-5) ^{4} (mod 21)\\(-5) ^{4}\equiv-5(mod 21)\\(21k-5) ^{4} \equiv-5(mod21)}\)
a to w zasadzie kończy dowód, nie mam 100% pewności czy to dobrze więc sprawdź jeszcze
pozdrawiam
Dobra doszedłem do tego póki co:
dla n=1 spełnione, dla pewnego n mamy : \(\displaystyle{ 2 ^{4 ^{n}} +5=21k}\) , dla n+1 mamy: \(\displaystyle{ 2 ^{4 ^{n+1} }+5=2 ^{4 ^{n} \cdot 4} +5=(2 ^{4 ^{n}}) ^{4}+5=(21k-5) ^{4}+5}\)
Mamy też, że:
\(\displaystyle{ 21k-5\equiv-5(mod 21)\\(21k-5) ^{4} \equiv(-5) ^{4} (mod 21)\\(-5) ^{4}\equiv-5(mod 21)\\(21k-5) ^{4} \equiv-5(mod21)}\)
a to w zasadzie kończy dowód, nie mam 100% pewności czy to dobrze więc sprawdź jeszcze
pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 15 sty 2011, o 16:51 przez cyberciq, łącznie zmieniany 1 raz.