kongruencja

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
greg.p
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 2 gru 2006, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leeds
Podziękował: 15 razy

kongruencja

Post autor: greg.p »

Witam,

Potrzebuje pare porad bo niebardzo wiem jak mam rozumiec kongruencje. Prosze o sprawdzenie i wrazie bledu naprowadzenie mnie na dobry tor.

1.
Jesli pierwszy dzien miesiaca to Poniedzialek, jaki dzien/dni tygodnia jest reprezentowany data kongruencji 3 modulo 7 w danym miesiacu.

Jesli rozumiem to dobrze to:
\(\displaystyle{ x \equiv 3 od{7}}\)

dla mnie:
\(\displaystyle{ 3 od{7} = 3}\)

wiec:
\(\displaystyle{ x=3}\)

czyli Sroda!

Czy dobrze mysle?

-----------------------------------------------------------------------------------

2.
Jaki ulamek funta jest zawarty w kazdym ciezarze, ktorej wartosc uncji jest kongruencja 20 modulo 16

\(\displaystyle{ x \equiv 20 od{16}}\)

dla mnie:
\(\displaystyle{ 20 od{16} = 4}\)

wiec:
\(\displaystyle{ x=4}\)

wiedzac ze 1 funt ma 16 uncji to odpowiedz bedzie
\(\displaystyle{ \frac{4}{16}=\frac{1}{4}}\)


Czy dobrze?
-----------------------------------------------------------------------------

3.
\(\displaystyle{ x+12=3\pmod{5}}\)

3 mod(5) to 3 wiec
\(\displaystyle{ x+12=3}\)
\(\displaystyle{ x=3-12}\)
\(\displaystyle{ x=-9}\)

Niby proste ,ale zdaje mi sie ze to jest zle bo widzialem podobne zadanie gdzie odpowiedzia byl zdior liczb? ??: Gdzie zle rozumuje?


Z gory dziekuje i pozdrawiam.
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

kongruencja

Post autor: Lorek »

Prawie dobrze, bo w 1 przypadku
\(\displaystyle{ x\in \mathbb{N}_+ x q 31}\)
czyli musisz znaleźć wszystkie liczby pomiędzy 1 i 31, które dają resztę z dzielenia przez 7 równą 3 (np. 10, nawiasem mówiąc to nie zmieni odpowiedzi )
w 3
\(\displaystyle{ x+12=3\pmod 5\\x+9=0\pmod 5\Leftrightarrow 5|x+9\Leftrightarrow x+9=5k\Leftrightarrow x=5k-9}\)
Dla dowolnego k całkowitego.
greg.p
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 2 gru 2006, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leeds
Podziękował: 15 razy

kongruencja

Post autor: greg.p »

Dziekuje za odpowiedz!

Add.1

Jak zapisac odpowiedz ze x moze byc jedna liczba ze zbioru [3,10,17,25,31]

Add.2
Wychodze z zalozenia ze jest dobrze, i nie musze tego jakos innaczej zapisac?


Add3.
Adams pisze: \(\displaystyle{ x+9=0\pmod 5\Leftrightarrow 5|x+9\Leftrightarrow x+9=5k\Leftrightarrow x=5k-9}\)
Dla dowolnego k całkowitego.
Tego nie rozumiem, mogl bys mi to krok po kroku wytlumaczyc prosze, bo mam klopoty z czytaniem pisowni matematycznej.

a wiec w danym przykladzie nierozumiem dlaczego przeniosles 3 i zostawiles po lewej
\(\displaystyle{ 0\pmod 5}\)


nie wiem rowniez co to ozanacza
\(\displaystyle{ 5|x}\)
i jak dlatego nie rozumiem tego.
\(\displaystyle{ 5|x+9\Leftrightarrow x+9=5k}\)
skad te k



inna sprawa to jesli
\(\displaystyle{ x=5k-9}\)
i przyjmiemy dla k wartos 4 to
\(\displaystyle{ x=5*4 -9 \\x=21}\)
wiec jesli
\(\displaystyle{ x+12=3\pmod{5}}\)
to
\(\displaystyle{ 33=3\pmod{5}}\)
wiec
\(\displaystyle{ 33\pmod{5}=3}\)
czyli ok

ale czy w tym przypadku nie powiniennem zapisac tego tak:
\(\displaystyle{ 33 \equiv3 od{5}}\)
powinnien byc znak rownosci czy equiv znak kongruencji?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

kongruencja

Post autor: Lorek »

1
\(\displaystyle{ x\in\{3;10;17;24;31\}}\)
2. wydaje się dobrze
3. Jeżeli
\(\displaystyle{ a\equiv b\pmod c}\)
to
\(\displaystyle{ a+d\equiv b+d\pmod c}\)
To mogą być dowolne liczby całkowite, więc d może być równe -3

\(\displaystyle{ 5|x+9\leftarrow 5}\)dzieli \(\displaystyle{ x+9}\), lub inaczej \(\displaystyle{ x+9}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\), a skoro \(\displaystyle{ x+9}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\) to możemy zapisać \(\displaystyle{ x+9}\) jako iloczyn \(\displaystyle{ 5}\) i pewnej liczby całkowitej

Co do znaku równości/kongruencji: jeżeli masz
\(\displaystyle{ a\equiv b\pmod c}\)
to a i b muszą dawać tę samą resztę z dzielenia przez c i nic więcej, a jeżeli jest
\(\displaystyle{ a=b\pmod c}\)
to tak jak wyżej i dodatkowo b musi należeć do zbioru \(\displaystyle{ Z_c=\{0;1;...;c-1\}}\)
greg.p
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 2 gru 2006, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leeds
Podziękował: 15 razy

kongruencja

Post autor: greg.p »

Dzieki za odpowiedzi troche mi rozjasniles temat, ale dalej mam problem z zapisem


Add.2
\(\displaystyle{ x\equiv20\pmod{16}\\x-20\equiv0\pmod{16}\Leftrightarrow 16|x-20\Leftrightarrow x-20=16k\Leftrightarrow x=16k+20}\)

i teraz jak w zapisie matematycznym przejsc do tego ze jesli 1 funt ma 16 uncji to kazda ilosc uncji kongruentna do \(\displaystyle{ 20\pmod{16}}\) bedzie zawierala \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) funta?
Ostatnio zmieniony 2 gru 2006, o 22:27 przez greg.p, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

kongruencja

Post autor: Lorek »

Nie piszesz żadnego k>0 bo nie każda liczba dodatnia jest całkowita, a są też liczby całkowite ujemne, ale za to piszesz
\(\displaystyle{ k\in\mathbb{C} \;\mbox{lub}\;k\in\mathbb{Z}}\)
w zależności od tego, jak oznaczasz zbiór liczb całkowitych.

A co do tego drugiego to jednak odpowiedzią nie będzie tylko \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), ale każda liczba postaci \(\displaystyle{ \frac{16k+20}{16}}\)
\(\displaystyle{ 16k+20}\) możesz zapisać jako \(\displaystyle{ 16k+16+4=16(k+1)+4=16k_1+4}\). Ważne jest, żeby \(\displaystyle{ 16k+20=16k_1+4\geq 0}\), bo część czegoś nie może byc ujemna
greg.p
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 2 gru 2006, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leeds
Podziękował: 15 razy

kongruencja

Post autor: greg.p »

Dziekuje!

a jak zapisac matematycznie zbior kotrego elementy sa zgodne z \(\displaystyle{ 20\pmod{16}}\)?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

kongruencja

Post autor: Lorek »

To zacznijmy od tego, że \(\displaystyle{ 20=4\pmod {16}}\)
i niech ten zbiór to będzie A, wtedy
\(\displaystyle{ A=\{x:x=4\pmod {16}\}=\{x:x=16n+4 \,\wedge\, n\in\mathbb{Z}\}}\)
może jest jeszcze jakiś inny sposób...
greg.p
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 2 gru 2006, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leeds
Podziękował: 15 razy

kongruencja

Post autor: greg.p »

Narazie dziekuje Ci bardzo za pomoc! Porobie troche cwiczen, i napewno jeszcze wroce po pomoc.

Pozdrawiam

[ Dodano: 4 Grudzień 2006, 00:34 ]
Ostatnie 3 przyklady.

1.
\(\displaystyle{ y-1\equiv13\pmod{6}\\
x-1\equiv1\pmod{6}\Rightarrow 6|x-2\Rightarrow x-2=6k x=6k+2 \;\mbox{gdzie}\; k\in\mathbb{Z}\\
x\in\{6k+2;k\in\mathbb{Z}\}}\)


Czy w powyzszym to ze x nalezy do zbioru liczb \(\displaystyle{ 6k+2}\) moze tak byc napisane?

---------------------------------------------------

2.
\(\displaystyle{ 4y+2\equiv2y+5\pmod{17}\\
2y-3\equiv0\pmod{17}\Rightarrow 17|2y-3\Rightarrow 2y-3=17k y=\frac{17k+3}{2} \;\mbox{gdzie}\; k\in\mathbb{Z}\\
y\in\{y:y=\frac{17k+3}{2} \,\wedge\, k\in\mathbb{Z}\}}\)


Czy powyzsze da sie jeszcze inaczej skrocic? Czy to juz jest ok?


---------------------------------------------------

3.
\(\displaystyle{ 6x\equiv3\pmod{9}\\
6x-3\equiv0\pmod{9}\Rightarrow 9|6x-3\Rightarrow 6x-3=9k\Rightarrow 2x-1=3k x=\frac{3k+1}{2} \\ \;\mbox{gdzie}\; k\in\mathbb{Z}\\
x\in\{x:x=\frac{3k+1}{2} \,\wedge\, k\in\mathbb{Z}\}}\)


Czy powyzsze da sie jeszcze inaczej skrocic? Czy to juz jest dobrze?
ODPOWIEDZ