Dowód - kwadraty

[gosia195]

Witam, ostatnio przeglądając strony internetu natknęłam się na kilka zadań z matematyki.
Mam nadzieję, że podpowiecie mi jak mogę je rozwiązać. A oto jedno z zadań

Zadanie
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \frac{b}{c}, b \neq 0, c \neq 0}\) to \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}= \frac{a^2}{b^2}}\).

Zapewne to co mamy założeniach trzeba przekształcić i wstawić do tezy, tylko co? Proszę o jakąś wskazówkę.

[fon_nojman]

Równość \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}= \frac{a^2}{b^2}}\) pomnóż przez mianowniki i poskracaj to co można, będzie widać co zrobić dalej.

[gosia195]

A można to co mamy w tezie mnożyć przez siebie i nie za bardzo rozumiem jak mam coś skrócić jeżeli wcześniej wymnożyłam, mógłbyś mi to wytłumaczyć trochę dokładniej?

Już zrozumiałam ze skróceniem

[fon_nojman]

I teraz będziemy chcieli dojść do postaci \(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \frac{b}{c}.}\)

[gosia195]

Dochodzę do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b^2}= \frac{b^2}{c^2}}\)
I teraz nasuwa się pytanie czy mogę spierwiastkować?

[fon_nojman]

Odpowiedź brzmi nie ale teraz widać jak to udowodnić. Wychodzimy od \(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \frac{b}{c}}\) potęgujemy bo tutaj możemy i dalej już chyba wiadomo, patrzysz na swoje rachunki tylko, że od końca.

Tylko pamiętaj, że

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \frac{b}{c} \Rightarrow \frac{a^2}{b^2}= \frac{b^2}{c^2}}\)

nie ma tu implikacji w drugą stronę.

[gosia195]

Aaaa w taki sposób, tylko czy mogę dodać obustronnie skrócony czynnik \(\displaystyle{ a^2b^2}\)?

[fon_nojman]

Jasne, w równości można dodawać obustronnie co się chce.

[gosia195]

To bardzo Ci dziękuje za pomoc, a to w ramach wdzięczności i poświęconego dla mnie czasu :*:*:*.

[fon_nojman]

Ciesze się, że mogłem pomóc