Największy wspólny dzielnik

marta147 · Post autor: **marta147** » 2 gru 2006, o 08:07

Jeżeli a×b jest największym wspólnym dzielnikiem a i b (gdzie a i b są liczbami naturalnymi), to która z wymienionych równości nie zawsze jest prawdziwa?
A) a×1=1
B) a×a=a
C) a×b=b×a
D) a×(b×c)=(a×b)×c
E) a×(b+c)=a×b+a×c

Prosze także o uzasadnienie rozwiązania[/i][/quote]

nuclear · Post autor: **nuclear** » 2 gru 2006, o 10:02

b) bo \(\displaystyle{ a a=a^2}\)

setch · Post autor: **setch** » 2 gru 2006, o 12:20

A) poniewaz \(\displaystyle{ a 1 = a}\)

Lorek · Post autor: **Lorek** » 2 gru 2006, o 13:32

A czy Wy umiecie czytać? Przecież \(\displaystyle{ a\times b}\) to nie jest zwykłe mnożenie, tylko \(\displaystyle{ a\times b=NWD(a;b)}\)
Pierwsze 3 równości są oczywiste, w 4 możesz skorzystać z tego, że jeżeli
\(\displaystyle{ a=2^{a_1}\cdot 3^{a_2}\cdots p^{a_n}\\b=2^{b_1}\cdot 3^{b_2}\cdots p^{b_n}}\)
to:
\(\displaystyle{ NWD(a;b)=2^{\min(a_1;b_1)}\cdot 3^{\min(a_2;b_2)}\cdots p^{\min(a_n;b_n)}}\)
i dodatkowo
\(\displaystyle{ \min(\min(p;q);r)=\min(p \min(q;r))}\)
Ostatnia równość nie jest prawdziwa (niech np. \(\displaystyle{ a \:\mbox{i}\: b+c}\) będą względnie perwsze)

marta147 · Post autor: **marta147** » 10 gru 2006, o 12:52

A mógłbyś mi dokładnie wyjaśnić dlaczego to ostatnie równanie nie jest prawdziwe, bo tego nie rozumiem?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 10 gru 2006, o 13:06

Ostatnie równanie wygląda tak
\(\displaystyle{ NWD(a;b+c)=NWD(a;b)+NWD(a;c)}\)
Jeżeli liczby \(\displaystyle{ a;\: b+c}\) są względnie pierwsze, to
\(\displaystyle{ NWD(a;b+c)=1}\)
podczas gdy
\(\displaystyle{ NWD(a;b)+NWD(a;c)\geq 2}\)