Dowód - rozkład na czynniki pierwsze, dzielniki

[choko]

Udowodnij , że jeśli liczba \(\displaystyle{ 2^{m}-1}\) jest pierwsza, to suma dzielników naturalnych liczby \(\displaystyle{ 2^{m}-1(2^{m-1})}\) jest równa \(\displaystyle{ 2^{2m}-2^{m}}\).

[smigol]

chodzi Ci o liczbę \(\displaystyle{ 2^m-2^{m-1}}\)?

Bo tak dziwnie tam ta jedynka stoi przed nawiasem i nie wiem czy to specjalnie, czy coś jeszcze miało być.

[witkal77]

Jezeli\(\displaystyle{ 2 ^{n} -1}\) jest liczbą pierwszą to taka liczba nazywa się liczbą Mersenna.
Natomiast liczba dla której chcesz udowodnić jej sumę dzielników nazywa się doskonała.
Suma dzielników liczby doskonałej z uwzględnieniem jej samej jest 2 razy większa od tej liczby.
Czyli jak podzielisz sumę dzielników przez 2 to otrzymasz tę liczbę.Chyba już to widzisz?
Rozumię ,ze pierwszy człon powinien być w nawiasie.

[choko]

Ja nic nie miałem o liczbach doskonałych na wykładzie, był natomiast taki wzorek:
\(\displaystyle{ \theta (n)= \prod_{p \in \mathbb{P}}^{} (\alpha_p(n)+1)}\)
\(\displaystyle{ \theta (n)}\) to liczba dzielników naturalnych, \(\displaystyle{ \mathbb{P}}\) to liczby pierwsze, a \(\displaystyle{ \alpha_p(n)}\) to wykładniki potęg.

[smigol]

Ja nic nie miałem o liczbach doskonałych na wykładzie

To doczytaj na wiki.

[Qń]

Przeformułowanie problemu przy użycia pojęcia "liczba doskonała" nie przybliża w żaden sposób do rozwiązania problemu.

Wskazówka: jeśli \(\displaystyle{ 2^m-1=p}\) jest liczbą pierwszą, to dzielnikami liczby \(\displaystyle{ p\cdot 2^{m-1}}\) są:
\(\displaystyle{ 1,2,4,\ldots , 2^{m-1}, p,2p,4p,\ldots , 2^{m-1}p}\)

Wystarczy więc je zsumować, używając wzoru na sumę ciągu geometrycznego.

Alternatywnie można też skorzystać z .

Q.

[choko]

Wskazówka: jeśli \(\displaystyle{ 2^m-1=p}\) jest liczbą pierwszą, to dzielnikami liczby \(\displaystyle{ p\cdot 2^{m-1}}\) są:
\(\displaystyle{ 1,2,3,\ldots , 2^{m-1}, p,2p,3p,\ldots , 2^{m-1}p}\)

Nie rozumiem skąd tyle dzielników...

[Qń]

Nie jest dla Ciebie jasne, że każda z tych liczb jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ p2^{m-1}}\), czy też nie jest jasne dlaczego nie ma innych?

Edit: a, była literówka, już poprawiłem.

Q.

[choko]

Licząc z tego wzorku mam \(\displaystyle{ 1*\frac{1-2^{2m}}{-1}=2^{2m}-1}\). Gdzie robię błąd

liczby \(\displaystyle{ 2^{m}-1(2^{m-1})}\) jest równa \(\displaystyle{ 2^{2m}-2^{m}}\).

[Qń]

Licząc z tego wzorku

"Tego" czyli którego?

Q.

[choko]

Licząc z tego wzorku

"Tego" czyli którego?

Q.

\(\displaystyle{ S=a_1* \frac{1-q^{n}}{1-q}}\)

[Qń]

Nie wiem w jaki sposób liczysz, ale:
\(\displaystyle{ 1+2+4+\ldots + 2^{m-1}+p+2p+4p+\ldots + 2^{m-1}p=(p+1)(1+2+4+\ldots + 2^{m-1})}\)

Q.