1. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2} + 1 \ge ab + a + b}\)
2. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ a ^{2} + 4b ^{2} + 3c ^{2} + 13 \ge 2a + 12b + 6c}\)
3. Wykaż, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} +...+ \frac{1}{97 \cdot 100} = \frac{33}{100}}\)
Wykaż, że zachodzi nierówność
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wykaż, że zachodzi nierówność
1) Wykaż, że \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2 \ge ab+ac+bc}\)
Albo z am-gm, jednak na to trochę ciężej wpaść:
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{b^2}{4} \ge ab}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \ge a}\)
\(\displaystyle{ \frac{b^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \ge b}\)
Dodając stronami otrzymujemy tezę.
3) Indukcyjnie łatwo dowieść:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \frac{n}{3n+1}}\)
Pozdrawiam.
Albo z am-gm, jednak na to trochę ciężej wpaść:
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{b^2}{4} \ge ab}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \ge a}\)
\(\displaystyle{ \frac{b^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \ge b}\)
Dodając stronami otrzymujemy tezę.
3) Indukcyjnie łatwo dowieść:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \frac{n}{3n+1}}\)
Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 28 gru 2010, o 16:09 przez Vax, łącznie zmieniany 1 raz.
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
Wykaż, że zachodzi nierówność
Vax, \(\displaystyle{ a^2+4b^2+3c^2-2a-12b-6c+13>a^2+4b^2+4c^2-2a-12b-6c+13 \Leftrightarrow 3c^2>4c^2 \Leftrightarrow 3>4}\)??
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wykaż, że zachodzi nierówność
O kurde, masz rację, coś mnie musiało przymulić Zaraz spróbuję wykombinować coś innego.
Pozdrawiam.
edit// ok, Smigol już napisał
Pozdrawiam.
edit// ok, Smigol już napisał
Ostatnio zmieniony 28 gru 2010, o 16:09 przez Vax, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 100
- Rejestracja: 6 lut 2010, o 14:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MD
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3 razy
Wykaż, że zachodzi nierówność
1.
\(\displaystyle{ a,b \in R \\ Teza : \\ a ^{2} + b ^{2} +1 \ge ab +a +b \\ \\ Dowod: \\ (a-b) ^{2} \ge 0 \\ (a-1) ^{2} \ge 0 \\ (b-1) ^{2} \ge 0 \\ \\ a ^{2} + b ^{2} \ge 2ab \\ a ^{2} + 1 \ge 2a \\ b ^{2}+1 \ge 2b}\)
Sumujemy stronami i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2a ^{2} + 2b ^{2} +2 \ge 2ab +2a +2b \\a ^{2} + b ^{2} +1 \ge ab +a +b \\c.n.u}\)
Reszta jak widzę została już zrobiona Pozdrawiam
\(\displaystyle{ a,b \in R \\ Teza : \\ a ^{2} + b ^{2} +1 \ge ab +a +b \\ \\ Dowod: \\ (a-b) ^{2} \ge 0 \\ (a-1) ^{2} \ge 0 \\ (b-1) ^{2} \ge 0 \\ \\ a ^{2} + b ^{2} \ge 2ab \\ a ^{2} + 1 \ge 2a \\ b ^{2}+1 \ge 2b}\)
Sumujemy stronami i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2a ^{2} + 2b ^{2} +2 \ge 2ab +2a +2b \\a ^{2} + b ^{2} +1 \ge ab +a +b \\c.n.u}\)
Reszta jak widzę została już zrobiona Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 100
- Rejestracja: 6 lut 2010, o 14:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MD
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3 razy
Wykaż, że zachodzi nierówność
Oczywiście, sam też tak nie lubię, jednak user mecalls prosił o udowodnienie a nie o jakiś pomysł bądź coś w tym rodzaju. Wierzę, że dzięki sposobowi rozwiązania powyższego zadania będzie umiał wykonać podobne.