Wykaż, że zachodzi nierówność

[mecalls]

1. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2} + 1 \ge ab + a + b}\)

2. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ a ^{2} + 4b ^{2} + 3c ^{2} + 13 \ge 2a + 12b + 6c}\)

3. Wykaż, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} +...+ \frac{1}{97 \cdot 100} = \frac{33}{100}}\)

[Vax]

1) Wykaż, że \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2 \ge ab+ac+bc}\)

Albo z am-gm, jednak na to trochę ciężej wpaść:

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{b^2}{4} \ge ab}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \ge a}\)

\(\displaystyle{ \frac{b^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \ge b}\)

Dodając stronami otrzymujemy tezę.

3) Indukcyjnie łatwo dowieść:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(3i-2)(3i+1)} = \frac{n}{3n+1}}\)

Pozdrawiam.

[smigol]

Vax, \(\displaystyle{ a^2+4b^2+3c^2-2a-12b-6c+13>a^2+4b^2+4c^2-2a-12b-6c+13 \Leftrightarrow 3c^2>4c^2 \Leftrightarrow 3>4}\)??

[Vax]

O kurde, masz rację, coś mnie musiało przymulić Zaraz spróbuję wykombinować coś innego.

Pozdrawiam.

edit// ok, Smigol już napisał

[smigol]

\(\displaystyle{ a ^{2} + 4b ^{2} + 3c ^{2} + 13 \ge 2a + 12b + 6c \Leftrightarrow a^2-2a+1+4b^2-12b+9+3c^2-6c+3 \ge 0}\)

[SzopenPL]

1.

\(\displaystyle{ a,b \in R \\ Teza : \\ a ^{2} + b ^{2} +1 \ge ab +a +b \\ \\ Dowod: \\ (a-b) ^{2} \ge 0 \\ (a-1) ^{2} \ge 0 \\ (b-1) ^{2} \ge 0 \\ \\ a ^{2} + b ^{2} \ge 2ab \\ a ^{2} + 1 \ge 2a \\ b ^{2}+1 \ge 2b}\)

Sumujemy stronami i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 2a ^{2} + 2b ^{2} +2 \ge 2ab +2a +2b \\a ^{2} + b ^{2} +1 \ge ab +a +b \\c.n.u}\)

Reszta jak widzę została już zrobiona Pozdrawiam

[smigol]

SzopenPL, nie każdy traktuje to forum jak maszynkę do robienia zadań.

[SzopenPL]

Oczywiście, sam też tak nie lubię, jednak user mecalls prosił o udowodnienie a nie o jakiś pomysł bądź coś w tym rodzaju. Wierzę, że dzięki sposobowi rozwiązania powyższego zadania będzie umiał wykonać podobne.