(4 zadania) Zadania ze zbioru rosyjskiego cz.3

[qkiz]

Kolejna porcja zadań:
1) Udowodnij, że liczba pierwsza p, p>=5 przy dzielenie przez 6 daje resztę 1 v 5
2) Udowodnij że kwadrat liczby pierwszej p, p>=5 przy dzieleniu na 24 daje resztę 1
3)Znaleźć wszystkie liczby naturalne x i y takie, że
a) 2^x2 * 3^y = 12^x
b) 18^xy = 2^x2 * 3^4y
4) Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych takich, że
a) x+y=xy
b) x(y^2 + 1)=48

[matemateusz]

3a)

2^(x^2) * 3^y = 12^x
2^(x^2) * 3^y = 2^(2x) * 3^x
2^(x^2) / 2^(2x) = 3^x / 3^y
2^(x^2 - 2x) = 3^(x - y)

2^a = 3^b a=b=0 wiec:

(x^2 - 2x = 0) i (x - y = 0)
a dalej to juz proste

3b)

18^(xy) = 2^(x^2) * 3^(4y)
3^(2xy) * 2^(xy) = 2^(x^2) * 3^(4y)
3^(2xy) / 3^(4y) = 2^(x^2) / 2^(xy)
3^(2xy - 4y) = 2^(x^2 - xy)

tak jak w podpunkcie a)

(2xy - 4y = 0) i (x^2 - xy = 0)
(2y (x - 2) = 0) i (x (x - y) = 0)
(y=0 lub x=2) i (x=0 lub x=y)
czyli
(x=y=0) lub (x=y=2)

4a)

x + y = xy

x1, y1 - w przeciwnym wypadku otrzymujemy sprzecznosc

x - xy = -y
x (1 - y) = -y

poniewaz y1

x = -y / (1-y)
x = y / (y -1)

Poniewaz x c C (y / (y - 1)) rowniez c C co jest spelnione tylko gdy:
y - 1 = 1 lub y - 1 = -1 lub y=0, czyli (y=2 i x=2) lub (y=0 i x=0)

4b)

x (y^2 + 1) = 48, oczywiscie x0
y^2 + 1 = 48 / x

Poniewaz y c C (y^2+1) rowniez c C, czyli 48 / x c C
Zatem x c {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
Podsawiajac kolejno te wartosci otrzymujemy:
(x=24 i y= -1) lub (x=24 i y=1) lub (x=48 i y=0)

[TomciO]

ad. 2)
p^2=24+1
p^2-1=24
(p-1)(p+1)=24

I w tym momencie juz widac ta podzielnosc... bowiem ten iloczyn jest podzielny przez 8, jako ze sa to 2 kolejne liczby parzyste, to ktoras z nich musi byc podzielna przez 4, druga jest przez 2, wiec iloczyn przez 8. Tak samo, ktoras z nich musi byc podzielna przez 3 gdyz wsrod 3 kolejnych liczb p-1, p, p+1 ktoras jest na pewno, a z warunkow zadania wynika, ze nie jest to p. Wiec tym samym, skoro wiadomo ze liczba jest podzielna przez 8 i przez 3, to wiadomo ze jest podzielna przez 24. Tym samym, udowodnilismy ze rownosc p^2=24+1 gdzie p jest liczba pierwsza >=5 jest zawsze prawdziwa.

EDIT: Oops, palnalem glupote :>.

ad 1)

Liczba pierwsza z dzielenia przez 6 moze miec jedynie nieparzyste reszty, gdyz inaczej bylaby parzysta. Czyli 1, 3, 5. 3 odpada, poniewaz gdyby liczba pierwsza z dzielenia przez 6 dawala reszte 3 to by znaczylo, ze liczba ta jest postaci 6k+3 czyli 3(2k+1), a wiec bylaby podzielna przez 3, co jest sprzeczne z zalozeniem.

Sorry, ze 2 posty pod rzad... z przyzwyczajenia.

[Undre]

Tak nieco z innej beczki - skąd można wykombinować taki porządny rosyjski zbiór zadań ? Ruscy na mnie zawsze robili wrażenie w tych dziedzinach

[viruExe]

4a
Najłatwiej, sprowadzić to równanie do postaci: \(\displaystyle{ xy + bx + ay + ab = (x+a)(y+b)}\)
\(\displaystyle{ xy - x -y = 0}\);

\(\displaystyle{ xy-x-y+1=1}\), dla \(\displaystyle{ a,b = -1}\)

\(\displaystyle{ (x-1)(y-1)=1}\)

Musimy rozpatrzeć, iloczyn jakich liczb, da nam \(\displaystyle{ 1}\),
jest to oczywiście \(\displaystyle{ 1,1}\) i \(\displaystyle{ -1,-1}\), więc uzyskujemy 2 układy równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-1=1\\y-1=1\end{cases}}\),
\(\displaystyle{ (x,y)=(2,2)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-1=-1\\y-1=-1\end{cases}}\),
\(\displaystyle{ (x,y)=(0,0)}\)