znaleźć wszystkie trójki liczb pierwszych takich że...

[kade]

Znaleźć wszystkie trójki liczb pierwszych \(\displaystyle{ (p,q,r)}\) takie, że

\(\displaystyle{ p|q^r + 1 ,q|r^p + 1, r|p^q + 1}\)

[witkal77]

(2,5,3);(3,2,5);(5,3,2)

[SaxoN]

Doskonale, ale dobrze by było napisać jakieś uzasadnienie otrzymanego wyniku Niech \(\displaystyle{ r(x,y)}\) będzie rzędem liczby \(\displaystyle{ x}\) modulo \(\displaystyle{ y}\) oraz niech kolejno \(\displaystyle{ a=r(q, p)}\), \(\displaystyle{ b=r(r,q)}\), \(\displaystyle{ c=r(p,r)}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ q^r\not\equiv 1 \pmod{p}}\) oraz \(\displaystyle{ q^{2r}\equiv 1\pmod{p}}\), zatem \(\displaystyle{ r\nmid a}\) oraz \(\displaystyle{ 2r\mid a}\), czyli (ponieważ \(\displaystyle{ r\in\mathbb{P}}\)) \(\displaystyle{ a\in\{2, 2r\}}\). Analogicznie \(\displaystyle{ b\in\{2, 2p\}}\) oraz \(\displaystyle{ c\in\{2, 2q\}}\). Jeżeli którakolwiek z liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\) jest równa \(\displaystyle{ 2}\), to będziemy mieli bez straty ogólności \(\displaystyle{ q^2\equiv 1 \pmod{p}}\), czyli \(\displaystyle{ p|(q-1)(q+1)}\) i mamy dwie liczby pierwsze różnej parzystości, czyli jedną z nich musi być \(\displaystyle{ 2}\)- w tym przypadku zadanie staje się w miarę trywialne. Jeżeli zaś żadna z liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\) nie jest równa \(\displaystyle{ 2}\), to niech bez straty ogólności \(\displaystyle{ p}\) będzie największą z liczb \(\displaystyle{ p,q,r}\). Musi być \(\displaystyle{ b|q-1}\) (z Małego Twierdzenie Fermata), czyli \(\displaystyle{ 2p|q-1}\), a dzielnik liczby nie może przekraczać tej liczby, czyli sprzeczność

[witkal77]

Doskonale,tylko że w dowodzeniu dobrze byłoby uwzględnić odsetek ludzi potrafiących zrozumieć ten dowód a z tym matematyka ,ktora jest dla ludzi ma spory problem.
Weźmy prosty przyklad:
Każda liczba naturalna większa od 1 jest średnią arytmetyczną dwoch liczb pierwszych(mogą być te same).Potrafisz to udowodnić?Jeśli tak to Goldbacha masz u swoich stop.Pozdrawiam.

[Nakahed90]

Doskonale,tylko że w dowodzeniu dobrze byłoby uwzględnić odsetek ludzi potrafiących zrozumieć ten dowód a z tym matematyka ,ktora jest dla ludzi ma spory problem.
Weźmy prosty przyklad:
Każda liczba naturalna większa od 1 jest średnią arytmetyczną dwoch liczb pierwszych(mogą być te same).Potrafisz to udowodnić?Jeśli tak to Goldbacha masz u swoich stop.Pozdrawiam.

Możesz napisać o co Ci biega? Wiesz, z reguły samo podanie odpowiedzi do zadania nie jest wystarczające. Jak ktoś się bierze za tego typu zadania, to ma już jakieś pojęcie o teorii liczbm, więc dla niego ten dowód będzie w pełni zrozumiały.

[witkal77]

Przecież się nie czepiam i nie o mnie tu chodzi.
Jestem nauczycielem matematyki i bardziej mi zależy by to co przekazuję było zrozumiane
przez sluchających niż to ,że co mówię jest prawdziwe bo ja to wiem.I tylko oto mi chodzi.

[SaxoN]

Widzę, że rozpoczęła się niemalże wojna po moim poście. Podałem rozumowanie, które prowadzi do wyniku, ponieważ raczej o to chodziło autorowi tematu. Każdy też doskonale wie, że moje rozumowanie jest dużo prostsze niż nieznany na razie dowód hipotezy Goldbacha Każdy kto nie rozumie przytoczonych przeze mnie pojęć może znaleźć je na internecie albo po prostu napisać w temacie swoje wątpliwości - z chęcią wyjaśniłbym, o co chodzi

[Qń]

witkal77 - jeśli uważasz, że przedstawiony dowód jest za skomplikowany, to pokaż swój, prostszy.

Q.

[arek1357]

Uważam, że skoro jesteśmy wszyscy na tym forum a do tego w takim dziale,
to argumentacja Qń-a i Saxona jest bardziej na miejscu, lecz np. Pokazanie, że taka a nie inna trójka liczb
spełnia to równanie co nam proponuje Witkal77 jet też słuszna ale powinna być stosowana, np w liceach
dla dorosłych czy podobnego typu szkół, gdzie jednak poziom matematyki nie musi przewyższać średniej krajowej a więc etapu dodawania ułamków...
I myślę że to powinno wszystkich pogodzić, bo jednak każdy ma coś racji...