dowód pierwiastka 3 stopnia z 3
dowód pierwiastka 3 stopnia z 3
pokaż, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{3}}\) jest liczba niewymierną
Ostatnio zmieniony 19 gru 2010, o 23:29 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
dowód pierwiastka 3 stopnia z 3
Dowód przeprowadza się bardzo podobnie do dowodu niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).
Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{3}}\) jest wymierna i równa ułamkowi nieskracalnemu \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{p^3}{q^3} = 3 \\
p^3 = 3q^3}\)
Z czego wynika, że \(\displaystyle{ 3|p}\). Można więc przedstawić \(\displaystyle{ p = 3k, k \in \mathbb{Z}}\):
\(\displaystyle{ 27k^3 = 3q^3 \\ 9k^3 = q^3}\)
Z czego wynika, że \(\displaystyle{ 3|q}\). Tak więc i \(\displaystyle{ p}\), i \(\displaystyle{ q}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), co jest sprzeczne z założeniem i kończy dowód.
Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{3}}\) jest wymierna i równa ułamkowi nieskracalnemu \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{p^3}{q^3} = 3 \\
p^3 = 3q^3}\)
Z czego wynika, że \(\displaystyle{ 3|p}\). Można więc przedstawić \(\displaystyle{ p = 3k, k \in \mathbb{Z}}\):
\(\displaystyle{ 27k^3 = 3q^3 \\ 9k^3 = q^3}\)
Z czego wynika, że \(\displaystyle{ 3|q}\). Tak więc i \(\displaystyle{ p}\), i \(\displaystyle{ q}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), co jest sprzeczne z założeniem i kończy dowód.