Temat wydzielony: Wokół hipotezy Goldbacha

rebi24 · Post autor: **rebi24** » 12 sty 2010, o 22:31

witam mam pytanie dotyczące liczb pierwszych kiedyś czytałem jakiś artykuł na temat liczb pierwszych
był tam przekrój pod kontem ciekawostek i pisali między innymi o Goldbach-cie że za udowodnienie jego
hipotezy jest milion dolarów i była też jakaś mowa tam o tym że naukowcy czy jacyś informatycy wyznaczyli też nagrodę za znalezienie dwóch składowych liczb pierwszych liczby jakiejś długiej ale podali ją tam kilka linijek miała chciałbym się dowiedzieć o co dokładniej chodzi tylko nie mogę tego nigdzie znaleźć jakby ktoś ktoś coś wiedział albo znalazł o co chodzi to bym był wdzięczny

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 13 sty 2010, o 00:06

W 1742 roku, w korespondencji do Leonharda Eulera, Christian Goldbach postawił hipotezę, że

każda liczba naturalna większa niż 2 może być przedstawiona w postaci sumy trzech liczb pierwszych (ta sama liczba pierwsza może być użyta dwukrotnie).

Goldbach uznawał za pierwszą liczbę 1, konwencja ta nie jest już dłużej stosowana. Przy tym ograniczeniu hipotezę można przeformułować, przyjmując jej prawdziwość dla liczb naturalnych większych niż 5.

Euler po otrzymaniu listu stwierdził, że sformułowanie hipotezy Goldbacha można uprościć i przedstawić ją w następujący sposób:

każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.

Powyższą hipotezę, do dzisiaj nazywana "hipotezą Goldbacha", sformułował w rezultacie Euler, jednak nazwa nie została zmieniona.

olek1822 · Post autor: **olek1822** » 17 gru 2010, o 22:17

$\displaystyle{ 2k=n_1+n_2}$

$\displaystyle{ k,n_1,n_2 \in N \wedge k\ge 2}$
Dowód: Wychodzimy od $\displaystyle{ n_1=n_2=k}$
$\displaystyle{ 2k=(n_1-s)+(n_2+s)}$ gdzie $\displaystyle{ s \le n_1-2 \wedge s \in N}$ gdyż nie interesuje nas suma liczb, w których znajduje się 1.Powołując się na twierdzenia Czebyszewa o istnieniu co najmniej 1 liczby pierwszej pomiędzy $\displaystyle{ n}$ i $\displaystyle{ 2n}$ dla $\displaystyle{ n \in N \wedge n>1}$ dochodzimy do wniosku,że istnieje taki przypadek, gdy
$\displaystyle{ (n_1-s),(n_2+s) \in P}$-zbiór liczb pierwszych, i to właśnie kończy dowód.
Postępując zgodnie z założeniami:

Przykład dla $\displaystyle{ 2k=8; [2...4...8]}$ wiemy, że pomiędzy 2...4 wstępuje co najmniej 1 liczba pierwsza oraz także pomiędzy 4...8, celowo nie wskazuje tych liczb.
$\displaystyle{ 8=4-0+4+0=4+4}$
$\displaystyle{ 8=4-1+4+1=3+5}$
$\displaystyle{ 8=4-2+4+2=2+6}$
Przykład dla $\displaystyle{ 2k=18;[(5)...9(10)...18]}$
$\displaystyle{ 18=9-0+9+0=9+9}$
$\displaystyle{ 18=9-1+9+1=8+10}$
$\displaystyle{ 18=9-2+9+2=7+11}$
Przykład dla $\displaystyle{ 2k=26; [(7)...13(14)...26]}$
$\displaystyle{ 26=13-0+13+0=13+13}$

Co Wy na to?

smigol · Post autor: **smigol** » 17 gru 2010, o 22:56

olek1822, dałbyś chociaż 1000$ ?

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 18 gru 2010, o 00:03

arek1357 pisze: każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.

olek1822 pisze:$\displaystyle{ 2k=n_1+n_2}$

$\displaystyle{ k,n_1,n_2 \in N \wedge k\ge 2}$
Dowód: Wychodzimy od $\displaystyle{ n_1=n_2=k}$
$\displaystyle{ 2k=(n_1-s)+(n_2+s)}$ gdzie $\displaystyle{ s \le n_1-2 \wedge s \in N}$ gdyż nie interesuje nas suma liczb, w których znajduje się 1.Powołując się na twierdzenia Czebyszewa o istnieniu co najmniej 1 liczby pierwszej pomiędzy $\displaystyle{ n}$ i $\displaystyle{ 2n}$ dla $\displaystyle{ n \in N \wedge n>1}$ dochodzimy do wniosku,że istnieje taki przypadek, gdy
$\displaystyle{ (n_1-s),(n_2+s) \in P}$-zbiór liczb pierwszych, i to właśnie kończy dowód.

Na pierwszy rzut oka dwa słabe punkty:

1.

$\displaystyle{ 2k=(n_1-s)+(n_2+s)}$

Ten zapis tylko nas informuje, że odległość pomiędzy dwoma składnikami sumy wynosi $\displaystyle{ 2s}$ czyli albo oba składniki są parzyste (pasuje tylko $\displaystyle{ 4=2+2}$) albo jednocześnie nieparzyste (dla $\displaystyle{ k \ge 3}$) No własnie nieparzyste, co nie znaczy pierwsze i dlatego powołałeś się na Czebyszewa.

2.

Powołując się na twierdzenia Czebyszewa o istnieniu co najmniej 1 liczby pierwszej pomiędzy $\displaystyle{ n}$ i $\displaystyle{ 2n}$ dla $\displaystyle{ n \in N \wedge n>1}$ dochodzimy do wniosku,że istnieje taki przypadek, gdy
$\displaystyle{ (n_1-s),(n_2+s) \in P}$-zbiór liczb pierwszych

Oczywiście na mocy Czebyszewa istnieje liczba pierwsza pomiędzy n i 2n oraz pomiędzy m i 2m.
Ale teraz pojawia się problem:
Załóżmy że dla danego k (tworzącego naszą liczbę parzystą 2k) znajdujemy takie s, że k-s jest pierwsze. Nijak nie wynika z Czebyszewa że k+s MUSI BYĆ AUTOMATYCZNIE PIERWSZA. (Ewentualnie odwrotnie znajdujemy k+s, a pytamy czy k-s jest też na pewno pierwsza). Owszem odwrotny tok rozumowania jest banalny: dwie dowolne liczby pierwsze (>2) są nieparzyste więc ich suma jest zawsze parzysta. I nawet fakt, iż jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, nie pozwala jednoznacznie stwierdzić, że wszystkie kombinacje par liczb pierwszych pokrywają cały zbiór liczb parzystych, bo choćby $\displaystyle{ 5+5=3+7}$ mógłby sugerować, że skoro dla jednych liczb parzystych istnieją dwie różne sumy to (teoretycznie) mogą istnieć takie liczby parzyste, które tej sumy nie mają.

Słabością Twego dowodu jest właśnie: dochodzimy do wniosku,że istnieje taki przypadek, gdy $\displaystyle{ (n_1-s),(n_2+s) \in P}$ -zbiór liczb pierwszych
Mi ta jednoczesność nijak nie wychodzi z Czebyszewa.

olek1822 · Post autor: **olek1822** » 18 gru 2010, o 13:28

Oba 'słabe punkty' wyjaśniłby się gdyby właśnie jak słusznie zauważyłem z $\displaystyle{ n_1-s \in P \Rightarrow n_2+s \in P}$, ale niestety tak nie jest.Mimo to nadal uważam, że twierdzenie Czebyszewa jest częścią klucza do rozwiązania hipotezy.