Ciekawa liczba

[mol_ksiazkowy]

Znależć taka liczbę dziesięciocyfrowa, ktorej pierwsza cyfra jest zarazem liczbą zer w jej zapisie dziesietnym, druga- liczbą jedynek i tak zą do ostatniej, ktora jest liczbą dziewiatek.

[jasny]

6210001000

[mol_ksiazkowy]

Ale czemu ,skad to wziałes i czy to jest jedyne rozwiazanie ...?!

[jasny]

Jest to jedyne rozwiązanie. Oczywiście nie sprawdzałem wszystkich liczb po kolei , ale napisałem prosty program który to zrobił za mnie Co do 'matematycznego' sposobu rozwiązania to nie mam pojęcia...

[DEXiu]

Zadanie z któregoś Kourliandtchika. Nie pamiętam dokładnie którego, ale było tam rozwiązanie. Niezbyt proste, choć i nie jakieś wyjątkowo kosmiczne

[jasny]

No fakt, teraz znalazłem w Kourliandtchiku ('Impresje liczbowe'). To może rozwiązanie:

Niech poszukiwaną liczbą będzie \(\displaystyle{ A=\overline{a_0a_1...a_9}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_0}\) - liczba zer w liczbie A, \(\displaystyle{ a_1}\) - liczba jedynek, i tak dalej. Suma wszystkich cyfr liczby A jest równa
\(\displaystyle{ a_0+a_1+...+a_9=a_0\cdot0+a_1\cdot1+...+a_9\cdot9}\),
skąd otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a_0=a_2+2a_3+3a_4+...+8a_9,\;\;}\)(1)
czyli \(\displaystyle{ a_0>0}\).

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ a_0=1}\). Z równości (1) otrzymujemy wtedy, że \(\displaystyle{ a_2=1,\,a_3=a_4=...=a_9=0}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ a_1=8}\), co jest niemożliwe.

Niech \(\displaystyle{ a_0=2}\). Mamy wówczas dwie możliwości:
\(\displaystyle{ a_2=0,\,a_3=1,\,a_4=a_5=...=a_9=0,\,a_1=7}\)
\(\displaystyle{ a_2=2,\,a_3=a_4=...=a_9=9,\,a_1=6}\)
Oba te warianty nie są możliwe.

Niech teraz \(\displaystyle{ a_0=i>2}\). Równość (1) możemy zapisać w postaci
\(\displaystyle{ a_0=i=a_2+2a_3+...+(i-1)a_i+...+8a_9.\;\;\;}\)(2)
Jest jasne, że \(\displaystyle{ a_i}\) - liczba równych i cyfr liczby A, jest różne od zera, bowiem \(\displaystyle{ a_0=i}\). Z drugiej strony równość (2) nie zachodzi dla \(\displaystyle{ a_i>1}\).
\(\displaystyle{ a_1}\) jest więc równe 1 i równość (2) możemy zapisać tak:
\(\displaystyle{ 1=a_2+2a_3+...+(i-2)a_{i-1}+ia_{i+1}+...+8a_9}\).
Stąd od razu wynika, że \(\displaystyle{ a_2=1}\), a wszystkie cyfry liczby A, różne od \(\displaystyle{ a_0,\,a_1,\,a_2}\) i \(\displaystyle{ a_i}\), są równe zeru. Ponieważ \(\displaystyle{ a_2=1}\), to wśród cyfr liczby A jest dwójka, przy czym tylko jedna, i może nią być jedynie cyfra \(\displaystyle{ a_1}\). Zatem w zapisie dziesiętnym liczby A różne od zera są tylko cyfry \(\displaystyle{ a_0=i,\,a_1=2,\,a_2=1}\), i \(\displaystyle{ a_i=1}\), to znaczy, że wśród cyfr liczby A jest i zer, dwie jedynki, jedna dwójka i jedna cyfra i. Ponieważ A jest liczbą dziesięciocyfrową, więc stąd wynika, że
\(\displaystyle{ i=10-2-1-1=6}\).
W ten sposób otrzymujemy odpowiedź: 6210001000.