Kongruencja, strukturalność zbiorów, izomorfizm

[direkts]

Witam, dostalismy probne kolokwium do zrobienia przed prawdziwym i chcac sie nauczyc chcialem je rozwiazac, co jak sie domyslacie, nie udalo sie ;P Prosilbym o rozwiazania, co bardzo pomogloby mi w nauce jestescie moja ostatnia nadzieja!! z gory dziekuje :]
1) Następujący układ równań rozwiązać w liczbach naturalnych

\(\displaystyle{ x\cdot y = 144 \\
(x,y) = 6 \\}\)

2)Sprawdzić, czy zbiór 4Z liczb całkowitych podzielnych przez 4 z działaniem \(\displaystyle{ \circ}\) określonym wzorem

\(\displaystyle{ x \circ y = x + y - 4 , x,y \in 4Z}\)

(po prawej stronie wzoru mamy zwykłe dodawanie i mnożenie liczb całkowitych), stanowi grupę abelową.

3)Sprawdzić, czy

\(\displaystyle{ 5^{4n+1}+ 5^{5n+2} - 3 \equiv 0(mod14) \\}\)

4)Rozwiązać kongruencję

\(\displaystyle{ a)3x^{2} - 4x + 1 \equiv 3(mod5) \\
b)x^{4} + 4x^{2} + 4x - 1 \equiv 0(mod4) \\}\)

5)Sprawdzić, czy przekształcenie

\(\displaystyle{ h(x) = 2^{-3x}, x \in R, \\}\)

jest izomorfizmem grupy addytywnej liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (\mathbb{R},+)}\), na grupę multiplikatywną liczb rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ (\mathbb{R} _{+},\cdot).}\)

-- 13 grudnia 2010, 19:36 --

Naprawde nikt nie wie? zadnego ? ;x

[ElEski]

direkts,
Pierwszego i drugiego Ci nie rozwiążę, bo nie znam niektórych znaków
W trzecim zauważ, że jeśli liczba przystaje do zera (mod. 14) to jest podzielna przez 14.
Tymczasem liczba po lewej stronie jest nieparzysta.
Czwarte wygląda na indukcję, zrobiłem sobie tylko pierwszy przykład.
Nie chcę podawać gotowców .
O piątym nawet nie myślałem..

PS. Zadania wydają mi się dziwnie proste, czy nie zrobiłem żadnego błędu ?

[direkts]

Czy pierwsze zadanie mozna tak rozwiazac??
\(\displaystyle{ x*y=144 \\
144=6*k \\
144/6=24 \\
x*y=24*6 \\

x=6 \ i \ y=24 \\
lub \\
x=24 \ i \ y=6}\)


ps. prosilbym o rozwiazania krok po kroku gdyz jutro mam kolokwium a widzac rozwiazania moge sie nauczyc ;P

[Ahhaa]

1) \(\displaystyle{ x=6k ,y=6n , (k,n)=1}\)

\(\displaystyle{ 36kn=144}\)

\(\displaystyle{ kn=4}\)
szukasz względnie pierwszych liczb k,n spełniających to równanie i masz już swoje x,y

3) gdyby miało być podzielne przez 14 musiałoby być podzielnte też przez 2 a tak jak powiedział wcześniej kolega ta liczba jest nieparzytsa.

4) a) \(\displaystyle{ 3x^{2}-4x+1=3x^{2}-3x-x+1=3x(x-1)-(x-1)=(3x-1)(x-1)}\)

Skorzystaj z tego, że 5 jest liczbą pierwszą, dostaniesz dwa alternatywne układy kongruencji i tylko jeden będzie spełniał warunki. W drugim podpunkcie podobnie. Przy zadaniu 2 ani 5 panie studencie nie pomogę bo jako niedokształcony uczeń liceum nie mam pojęcia o co nas w nich proszą : D.
Pozdrawiam

[kubek1]

2)Sprawdź, czy są spełnione z def. grupy następujące warunki:
-czy jest to działanie w zbiorze \(\displaystyle{ 4Z}\)
-czy jest łączne, czyli: \(\displaystyle{ a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c}\)
-czy ma el. neutralny (powinno wyjść 4)
-jaki jest el. odwrotny i czy jest okr. dla każdego el. x w zbiorze \(\displaystyle{ 4Z}\)
A ponieważ masz sprawdzić, czy to jest grupa abelowa, do sprawdzenia zostaje jeszcze przemienność, czyli musisz sprawdzić, czy: \(\displaystyle{ x\circ y=y \circ x}\)

Przemienność warto udowodnić dosyć wcześnie, by potem się nie plątać

A w 5) musisz tylko sprawdzić, czy: \(\displaystyle{ h(x+y)=h(x)\cdot h(y)}\),bo oczywiście \(\displaystyle{ h(x)>0}\)