Równanie diofantyczne

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
szymek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 659
Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów
Podziękował: 136 razy
Pomógł: 54 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: szymek12 »

Udowodnić, że równanie \(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2}=c ^{2}+d ^{2}}\) nie ma rozwiazania w zbiorze liczb naturalnych dodatnich, gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d}\)- liczby parzyste i \(\displaystyle{ a \neq b \neq c \neq d}\).
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: smigol »

Liczby: \(\displaystyle{ a=c=4, b=d=3}\)
Spełniają równanie i warunek: \(\displaystyle{ a \neq b \neq c \neq d}\).
szymek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 659
Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów
Podziękował: 136 razy
Pomógł: 54 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: szymek12 »

Trzeba czytać ze zrozumieniem:
1. Po pierwsze maja to być rózne liczby - napisałem przecież \(\displaystyle{ a \neq b \neq c \neq d}\)
2. chodzi o liczby parzyste, a z tego co mi wiadomo \(\displaystyle{ 3}\) raczej nie jest liczbą parzystą.
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: smigol »

szymek12 pisze:Trzeba czytać ze zrozumieniem:
1. Po pierwsze maja to być rózne liczby - napisałem przecież \(\displaystyle{ a \neq b \neq c \neq d}\)
2. chodzi o liczby parzyste, a z tego co mi wiadomo \(\displaystyle{ 3}\) raczej nie jest liczbą parzystą.
Przepraszam, masz rację. Nie uwzględniłem warunku nr 2. No to \(\displaystyle{ a=c=4, b=d=6}\). Zarówno 4, jak i 6 są liczbami parzystymi i spełniają warunek \(\displaystyle{ a \neq b \neq c \neq d}\)
abc666

Równanie diofantyczne

Post autor: abc666 »

szymek12, chodzi o to że relacja nierówne nie jest przechodnia. Zapewne chodziło ci o to, że te liczby są parami różne. smigol, wie, że o to ci chodzi tylko się z tobą droczy :p
szymek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 659
Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów
Podziękował: 136 razy
Pomógł: 54 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: szymek12 »

No to już teraz napiszę jasno, żeby nie było wątpliwości:
Udowodnić, że równanie \(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2}=c ^{2}+d ^{2}}\) nie ma rozwiazania w zbiorze liczb naturalnych dodatnich, gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d}\)-różne liczby parzyste.

Innymi słowy chodzi mi o to, że np: \(\displaystyle{ 6 ^{2} + 8 ^{2}=10 ^{2}}\) . Otóż postawię hipotezę, że nie można znaleźć innych liczb naturalnych parzystych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), które są różne od \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 8}\), a które spełniałyby warunek: \(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2}=10 ^{2}}\) . Jak dowieść, że hipoteza jest prawdziwa.
pipol

Równanie diofantyczne

Post autor: pipol »

\(\displaystyle{ (8n^3 -2)^2 +(4n^2 +4n)^2 =(8n^3 )^2 +(4n^2 +2)^2}\)
ODPOWIEDZ