Podzelność liczb naturalnych

[gelo21]

Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\) ,to \(\displaystyle{ NWD(a ^{3}+b ^{3},a ^{2}+b ^{2}) | (a-b).}\)

[Piotr Rutkowski]

Skoro \(\displaystyle{ (a,b)=1}\) to \(\displaystyle{ (a,a^{3}+b^{3})=1}\), więc
\(\displaystyle{ (a^{3}+b^{3},a^{2}+b^{2})=(a^{3}+b^{3},a(a^{2}+b^{2}))=(a^{3}+b^{3},a^{3}+ab^{2})=(a^{3}+b^{3},ab^{2}-b^{3})=(a^{3}+b^{3},b^{2}(a-b))|a-b}\)

Pozdrawiam

[gelo21]

Nie rozumiem w ogóle tych przejść w drugiej linijce?? Możesz powiedzieć dlaczego tak??

[Piotr Rutkowski]

Nie rozumiem w ogóle tych przejść w drugiej linijce?? Możesz powiedzieć dlaczego tak??

Pierwsze wynika z tego, że \(\displaystyle{ (a,a^{3}+b^{3})=1}\)
Jeśli badamy \(\displaystyle{ (x,y)}\) oraz wiemy, że \(\displaystyle{ (x,z)=1}\), to \(\displaystyle{ (x,y)=(x,yz)}\)
Reszta to dodawanie i odejmowanie...