Witam mam problem z zadaniem.Mam nadzieję, że pomożecie
Zad.Wykaż, że
każda liczba postaci \(\displaystyle{ \left( 10 ^{n}+2 \right) ^{2}}\) jest podzielne przez 9, n \(\displaystyle{ \in}\) N+
Dowodzenie podzielności prze liczbe
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Dowodzenie podzielności prze liczbe
1 sposób:
\(\displaystyle{ 10 \equiv 1 (mod 9)}\)
\(\displaystyle{ 10^n \equiv 1 (mod 9)}\)
\(\displaystyle{ 10^n+2 \equiv 3 (mod 9)}\)
\(\displaystyle{ (10^n+2)^2 \equiv 9 (mod 9)}\)
\(\displaystyle{ (10^n+2)^2 \equiv 0 (mod 9)}\)
2 sposób:
Zastosuj indukcję matematyczną (najdłuższy sposób)
3 sposób:
Zauważ, że suma cyfr \(\displaystyle{ 10^n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in N_+}\) wynosi 1, jeżeli dodamy 2, to wynosi 3, więc dane wyrażenie dzieli się przez 3, jeżeli podniesiemy do kwadratu, to dzieli się przez 9.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ 10 \equiv 1 (mod 9)}\)
\(\displaystyle{ 10^n \equiv 1 (mod 9)}\)
\(\displaystyle{ 10^n+2 \equiv 3 (mod 9)}\)
\(\displaystyle{ (10^n+2)^2 \equiv 9 (mod 9)}\)
\(\displaystyle{ (10^n+2)^2 \equiv 0 (mod 9)}\)
2 sposób:
Zastosuj indukcję matematyczną (najdłuższy sposób)
3 sposób:
Zauważ, że suma cyfr \(\displaystyle{ 10^n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in N_+}\) wynosi 1, jeżeli dodamy 2, to wynosi 3, więc dane wyrażenie dzieli się przez 3, jeżeli podniesiemy do kwadratu, to dzieli się przez 9.
Pozdrawiam.