Równanie w liczbach naturalnych

[gelo21]

Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ n \ge z}\), to równanie \(\displaystyle{ x ^{n}+y ^{n}=z ^{n}}\) nie posiada rozwiązań w liczbach naturalnych, nie korzystając z wielkiego twierdzenia Fermata.

[darek20]

\(\displaystyle{ z \ge x}\) i \(\displaystyle{ z \ge y}\)
załóż np ze \(\displaystyle{ x \ge y}\)

\(\displaystyle{ z^{n}=z \cdot z^{n-1}> z \cdot x^{n}\geq 2x^{n}\geq x^{n}+y^{n}}\)
\(\displaystyle{ z^{n}> x^{n}+y^{n}}\)

[gelo21]

Dlaczego zakładasz że \(\displaystyle{ x \ge x}\) i\(\displaystyle{ y \ge z}\).?? i to już był by koniec zadania??

[darek20]

Dlaczego zakładasz że \(\displaystyle{ x \ge x}\) i\(\displaystyle{ y \ge z}\).?? i to już był by koniec zadania??

gdzie zakładam ze \(\displaystyle{ x \ge x}\)?

jesli chodzi o to \(\displaystyle{ z \ge x}\) i \(\displaystyle{ z \ge y}\), to to nie jest załozenie

[gelo21]

nie czaję tego rozwiązania Dlaczego np. \(\displaystyle{ z \ge x}\)?? Jeśli na koniec wyszło Ci to :\(\displaystyle{ z^{n}> x^{n}+y^{n}}\) to wtedy już jest koniec?? Ja tak dopytuje bo mam prowadzącego który lubi zadawać pytania dlaczego tak rozwiązane a nie inaczej. Proszę wyjaśnij mi to jak najbardziej łopatologicznie.

[darek20]

a czy nie widac ze \(\displaystyle{ z \ge x}\) , \(\displaystyle{ z \ge y}\)

ps: jaki to poziom szkoły?

[Qń]

\(\displaystyle{ z \cdot z^{n-1}> z \cdot x^{n}}\)

Ta nierówność wymaga uzasadnienia.

Moja propozycja rozwiązania:

Załóżmy, że trójka \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) jest rozwiązaniem równania. Bez utraty ogólności można założyć, że \(\displaystyle{ y\ge x}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ z>y \ge x}\) i wówczas:
\(\displaystyle{ x^n=z^n-y^n\ge (y+1)^n-y^n \ge ny^{n-1} \ge nx^{n-1}}\)
a stąd \(\displaystyle{ x\ge n}\), więc tym bardziej \(\displaystyle{ z>n}\)

(pierwsze szacowanie z uwagi na \(\displaystyle{ z\ge y+1}\), drugie szacowanie łatwo uzyskać podnosząc \(\displaystyle{ y+1}\) do \(\displaystyle{ n}\)-tej potęgi i obcinając "ogon")

Q.