fajna podzielność

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
niepokonanytornister
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 2 gru 2010, o 15:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziodoły
Podziękował: 1 raz

fajna podzielność

Post autor: niepokonanytornister »

wykaż że
24 dzieli\(\displaystyle{ n^4-2n^3+11n^2+62n}\)
\(\displaystyle{ n \in całkowitych}\)
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

fajna podzielność

Post autor: Vax »

Za bardzo się tego nie rozłoży, więc pewnie można indukcją to udowodnić.

Pozdrawiam.
niepokonanytornister
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 2 gru 2010, o 15:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziodoły
Podziękował: 1 raz

fajna podzielność

Post autor: niepokonanytornister »

ale jak indukcją udowadniać podzielność, a poza tym to jest na liczbach całkowitych
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

fajna podzielność

Post autor: Vax »

Dla n=0 teza jest prawdziwa, założenie:

\(\displaystyle{ n^4-2n^3+11n^2+62n=24a}\)

Teza: \(\displaystyle{ 24|(n+1)^4-2(n+1)^3+11(n+1)^2+62(n+1)}\)

Dowód: \(\displaystyle{ (n+1)^4-2(n+1)^3+11(n+1)^2+62(n+1) = n^4+4n^3+6n^2+4n+1-2(n^3+3n^2+3n+1)+11(n^2+2n+1)+62n+62 = \\ \\ = n^4+2n^3+11n^2+82n+72 = n^4-2n^3+11n^2+62n+4n^3+20n+72 = \\ \\ = 24a+4n^3+20n+72 = 24a+4(n^3+5n+18)}\)

Wystarczy zatem udowodnić, że:

\(\displaystyle{ 6|n^3+5n}\)

Tutaj możemy znowu wykorzystać indukcję:

Z: \(\displaystyle{ n^3+5n=6b}\)

T: \(\displaystyle{ 6|(n+1)^3+5(n+1)}\)

D: \(\displaystyle{ (n+1)^3+5(n+1) = n^3+3n^2+3n+1+5n+5 = n^3+3n^2+8n+6 = \\ \\ = n^3+5n+3n^2+3n+6 = 6b+3n(n+1)+6}\)

Cało wyrażenie jest podzielne przez 6, ponieważ \(\displaystyle{ 6b}\) oraz \(\displaystyle{ 6}\) dzielą się przez 6 w sposób oczywisty, a \(\displaystyle{ 3n(n+1)}\) dzieli się przez 6, ponieważ jednym z czynników jest 3, oraz iloczyn 2 kolejnych liczb całkowitych zawsze będzie podzielny przez 2.

cnd.

Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

fajna podzielność

Post autor: smigol »

Vax, zostały Ci ujemne. Najlepiej za n postawić -x, gdzie x jest naturalne.
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

fajna podzielność

Post autor: Vax »

Masz rację, n jest całkowite a nie naturalne

Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ