wykaż że
24 dzieli\(\displaystyle{ n^4-2n^3+11n^2+62n}\)
\(\displaystyle{ n \in całkowitych}\)
fajna podzielność
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 2 gru 2010, o 15:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziodoły
- Podziękował: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 2 gru 2010, o 15:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziodoły
- Podziękował: 1 raz
fajna podzielność
ale jak indukcją udowadniać podzielność, a poza tym to jest na liczbach całkowitych
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
fajna podzielność
Dla n=0 teza jest prawdziwa, założenie:
\(\displaystyle{ n^4-2n^3+11n^2+62n=24a}\)
Teza: \(\displaystyle{ 24|(n+1)^4-2(n+1)^3+11(n+1)^2+62(n+1)}\)
Dowód: \(\displaystyle{ (n+1)^4-2(n+1)^3+11(n+1)^2+62(n+1) = n^4+4n^3+6n^2+4n+1-2(n^3+3n^2+3n+1)+11(n^2+2n+1)+62n+62 = \\ \\ = n^4+2n^3+11n^2+82n+72 = n^4-2n^3+11n^2+62n+4n^3+20n+72 = \\ \\ = 24a+4n^3+20n+72 = 24a+4(n^3+5n+18)}\)
Wystarczy zatem udowodnić, że:
\(\displaystyle{ 6|n^3+5n}\)
Tutaj możemy znowu wykorzystać indukcję:
Z: \(\displaystyle{ n^3+5n=6b}\)
T: \(\displaystyle{ 6|(n+1)^3+5(n+1)}\)
D: \(\displaystyle{ (n+1)^3+5(n+1) = n^3+3n^2+3n+1+5n+5 = n^3+3n^2+8n+6 = \\ \\ = n^3+5n+3n^2+3n+6 = 6b+3n(n+1)+6}\)
Cało wyrażenie jest podzielne przez 6, ponieważ \(\displaystyle{ 6b}\) oraz \(\displaystyle{ 6}\) dzielą się przez 6 w sposób oczywisty, a \(\displaystyle{ 3n(n+1)}\) dzieli się przez 6, ponieważ jednym z czynników jest 3, oraz iloczyn 2 kolejnych liczb całkowitych zawsze będzie podzielny przez 2.
cnd.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ n^4-2n^3+11n^2+62n=24a}\)
Teza: \(\displaystyle{ 24|(n+1)^4-2(n+1)^3+11(n+1)^2+62(n+1)}\)
Dowód: \(\displaystyle{ (n+1)^4-2(n+1)^3+11(n+1)^2+62(n+1) = n^4+4n^3+6n^2+4n+1-2(n^3+3n^2+3n+1)+11(n^2+2n+1)+62n+62 = \\ \\ = n^4+2n^3+11n^2+82n+72 = n^4-2n^3+11n^2+62n+4n^3+20n+72 = \\ \\ = 24a+4n^3+20n+72 = 24a+4(n^3+5n+18)}\)
Wystarczy zatem udowodnić, że:
\(\displaystyle{ 6|n^3+5n}\)
Tutaj możemy znowu wykorzystać indukcję:
Z: \(\displaystyle{ n^3+5n=6b}\)
T: \(\displaystyle{ 6|(n+1)^3+5(n+1)}\)
D: \(\displaystyle{ (n+1)^3+5(n+1) = n^3+3n^2+3n+1+5n+5 = n^3+3n^2+8n+6 = \\ \\ = n^3+5n+3n^2+3n+6 = 6b+3n(n+1)+6}\)
Cało wyrażenie jest podzielne przez 6, ponieważ \(\displaystyle{ 6b}\) oraz \(\displaystyle{ 6}\) dzielą się przez 6 w sposób oczywisty, a \(\displaystyle{ 3n(n+1)}\) dzieli się przez 6, ponieważ jednym z czynników jest 3, oraz iloczyn 2 kolejnych liczb całkowitych zawsze będzie podzielny przez 2.
cnd.
Pozdrawiam.