Zadanie na udowodnienie z l.pierwszymi

[cacksucker]

Znajdź wszystkie pary(p,q) liczb pierwszych, dla ktorych liczby 7p+q i pq+11 sa pierwsze.

Ja zauwazylem ze pq musi byc dodatnie i ze moze to byc 2 i 3, ale dla innych nie potrafie udowodnic

[Tristan]

Zauważmy, że jeżeli \(\displaystyle{ p \geq 3 \wedge q \geq 3}\), to \(\displaystyle{ 7p+q \wedge pq+11}\) są liczbami parzystymi. Jeśli zaś \(\displaystyle{ p=2 \wedge q=2}\) to otrzymujemy parę liczb złożonych (16,15). Zatem zostają dwie możliwości:
1. \(\displaystyle{ p=2, q \geq 3}\)
Dla przypadku, gdy \(\displaystyle{ q=3}\) otrzymujemy rzeczywiście parę liczb pierwszych (17,17).
Jeśli \(\displaystyle{ q>3}\) to daje resztę 1 lub 2 z dzielenia przez 3. Jeśli \(\displaystyle{ q=3k+2, k \in \mathbb{N}}\), to \(\displaystyle{ pq+11=2(3k+2)+11=6k+15=3(2k+5)}\) nie jest liczbą pierwszą. Jeśli zaś \(\displaystyle{ q=3k+1, k \in \mathbb{N}}\), to \(\displaystyle{ 7p+q=14+3k+1=3k+15=3(k+5)}\) nie jest liczbą pierwszą.
2. \(\displaystyle{ p \geq 3, q=2}\)
Dla przypadku, gdy \(\displaystyle{ p=3}\) otrzumujemy parę liczb pierwszych (23,17). Jeśli \(\displaystyle{ p>3}\) to postępujemy analogicznie, jak w pierwszym przypadku.

Ostatecznie otrzymujemy dwie pary liczb (p,q), tj. \(\displaystyle{ (2,3) , (3,2)}\).

[cacksucker]

Dzieki. Bardzo fajnie jest to zrobione Pozdrawiam