Rozwiąznie układu kongruencji
-
Brycho
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 4 gru 2010, o 10:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kalety , woj. Śląśkie
- Pomógł: 5 razy
Rozwiąznie układu kongruencji
Begin.
Na kalkulatorze ułatwiamy sobie życie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv 0 (mod 7)\\x\equiv 3(mod 22) \\x\equiv13 (mod 15) \end{cases}}\)
-- 7 gru 2010, o 18:32 --
After.
Rozpatrzmy pierwsze dwa równania. Ze wględu na \(\displaystyle{ 3\equiv 3 (mod7)}\) , \(\displaystyle{ 22\equiv 1 (mod 7)}\) ,\(\displaystyle{ 7-3=4}\) oraz \(\displaystyle{ NWD (1,4) = 1}\) mamy , że najmniejszą liczbą spełniającą 1-e i 2-e równanie jest : \(\displaystyle{ 3 + 22 \cdot 4 =91}\).
Dalej ze względu tylko na \(\displaystyle{ NWW(22,7)=154}\) mamy , że pierwsze dwa równania spełniają liczby postaci \(\displaystyle{ x =154k+91}\) , czyli dalej nasz układ kongruencji ma postać :
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv 91 (mod154) \\ x\equiv 13 (mod 15) \end{cases}}\) .
-- 7 gru 2010, o 18:58 --
End.
Końcówkę rozważymy dogłębnie. Znajdźmy najmniejszą liczbę naturalną spełniającą te równanie. Nazwijmy ją \(\displaystyle{ l}\). Dodatkowo oznaczmy \(\displaystyle{ m=l-13}\). Widzimy , że \(\displaystyle{ m\equiv 0 (mod15)}\) i \(\displaystyle{ m\equiv 78 (mod154)}\).
Ze względu na \(\displaystyle{ 78\equiv 3 (mod15)}\) i \(\displaystyle{ 154 \equiv 4 (mod15)}\) musimy wyznaczyć najmniejszą liczbę n spełniającą równanie\(\displaystyle{ 3+4n=15o}\) , gdzie \(\displaystyle{ o}\) jest liczbą naturalną. Równanie to inaczej ma postać \(\displaystyle{ n=\frac{15o-3}{4}}\) i ze względu na \(\displaystyle{ 15\equiv 3 (mod)}\) łatwo liczymy, że n=3 , skąd \(\displaystyle{ m=3 \cdot 154 +78 = 540}\) \(\displaystyle{ l=540+13 = 553}\) . Dalej ze względu na \(\displaystyle{ NWW(154,15)=2310}\) mamy , że równanie spełniają liczby \(\displaystyle{ x}\) postaci \(\displaystyle{ x=2310p+553}\) , gdzie \(\displaystyle{ p \in \mathbb N}\)-- 7 gru 2010, o 19:00 --Odpowiedź.
\(\displaystyle{ x=2310p+553}\) , gdzie \(\displaystyle{ p\in \mathbb N}\)
Na kalkulatorze ułatwiamy sobie życie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv 0 (mod 7)\\x\equiv 3(mod 22) \\x\equiv13 (mod 15) \end{cases}}\)
-- 7 gru 2010, o 18:32 --
After.
Rozpatrzmy pierwsze dwa równania. Ze wględu na \(\displaystyle{ 3\equiv 3 (mod7)}\) , \(\displaystyle{ 22\equiv 1 (mod 7)}\) ,\(\displaystyle{ 7-3=4}\) oraz \(\displaystyle{ NWD (1,4) = 1}\) mamy , że najmniejszą liczbą spełniającą 1-e i 2-e równanie jest : \(\displaystyle{ 3 + 22 \cdot 4 =91}\).
Dalej ze względu tylko na \(\displaystyle{ NWW(22,7)=154}\) mamy , że pierwsze dwa równania spełniają liczby postaci \(\displaystyle{ x =154k+91}\) , czyli dalej nasz układ kongruencji ma postać :
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv 91 (mod154) \\ x\equiv 13 (mod 15) \end{cases}}\) .
-- 7 gru 2010, o 18:58 --
End.
Końcówkę rozważymy dogłębnie. Znajdźmy najmniejszą liczbę naturalną spełniającą te równanie. Nazwijmy ją \(\displaystyle{ l}\). Dodatkowo oznaczmy \(\displaystyle{ m=l-13}\). Widzimy , że \(\displaystyle{ m\equiv 0 (mod15)}\) i \(\displaystyle{ m\equiv 78 (mod154)}\).
Ze względu na \(\displaystyle{ 78\equiv 3 (mod15)}\) i \(\displaystyle{ 154 \equiv 4 (mod15)}\) musimy wyznaczyć najmniejszą liczbę n spełniającą równanie\(\displaystyle{ 3+4n=15o}\) , gdzie \(\displaystyle{ o}\) jest liczbą naturalną. Równanie to inaczej ma postać \(\displaystyle{ n=\frac{15o-3}{4}}\) i ze względu na \(\displaystyle{ 15\equiv 3 (mod)}\) łatwo liczymy, że n=3 , skąd \(\displaystyle{ m=3 \cdot 154 +78 = 540}\) \(\displaystyle{ l=540+13 = 553}\) . Dalej ze względu na \(\displaystyle{ NWW(154,15)=2310}\) mamy , że równanie spełniają liczby \(\displaystyle{ x}\) postaci \(\displaystyle{ x=2310p+553}\) , gdzie \(\displaystyle{ p \in \mathbb N}\)-- 7 gru 2010, o 19:00 --Odpowiedź.
\(\displaystyle{ x=2310p+553}\) , gdzie \(\displaystyle{ p\in \mathbb N}\)